Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1993-1994

Đây là Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1993-1994 gồm 2 bảng A và B. Mỗi đề có tất cả 4 bài với 2 câu đại số và 2 câu hình học.

(Thời gian làm bài 180 phút)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ TOÀN QUỐC

BẢNG A

Bài 1:
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: ${\displaystyle 7x_{}^2+13y_{}^2=1820}$.

b) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước nguyên tố của ${\displaystyle p_{}^4}$ là một số chính
phương.

Bài 2:
a) Cho ${\displaystyle S=a_{}^2+b_{}^2+c_{}^2+d_{}^2+ac+bd}$, trong đó ad – bc = 1
1. Chứng minh S ≥ √3
2. Tính giá trị của tổng ${\displaystyle {(a+c)}_{}^2+{(b+d)}_{}^2}$, khi biết S = √3.

b) Giải hệ phương trình với các ẩn x, y, z sau đây:
${\displaystyle \frac{xy}{ay+bx}=\frac{yz}{bz+cy}=\frac{zx}{cx+az}=\frac{x_{}^2+y_{}^2+z_{}^2}{a_{}^2+b_{}^2+c_{}^2}}$ (trong đó a, b, c là các số cho trước).

Bài 3: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c thỏa mãn a > b > c, và O là điểm bất kì nằm trong tam giác đó. Các đướng thẳng AO, BO, CO thứ tự cắt các cạnh của tam giác tại P, Q, R.

Chứng minh rằng OP + OQ + OR < a.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở C và có ${\displaystyle \hat{A}<\hat{B}}$. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Cho biết tam giác BIO là một tam giác vuông. Tìm tỉ số giữa các cạnh của tam giác ABC.

BẢNG B

Bài 1: Xem bài 1 của Bảng A.

Bài 2:
a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0, chứng minh rằng: ${\displaystyle a_{}^4+b_{}^4+c_{}^4+d_{}^4\ge abc(a+b+c)}$
b) Xem phần b câu 2 bài 2 của Bảng A.

Bài 3: Cho tam giác ba góc nhọn ABC. Lấy điểm P ở trong tam giác ABC và trên các cạnh AC, BC ta lấy các điểm M và L tương ứng, sao cho: ${\displaystyle \widehat{PAC}=\widehat{PAB}}$ và ${\displaystyle \widehat{PMC}=\widehat{PLC}={90}_{}^0}$.

a) Chứng minh đường trung trực của ML đi qua trung điểm D của cạnh AB.

b) Hỏi với điều kiện nào của tam giác ABC thì trung trực của ML cũng là trung trực của
cạnh AB ? Chứng minh điều đó.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở C và có ${\displaystyle \hat{A}<\hat{B}}$. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Cho biết tam giác BIO là một tam giác vuông.

a) Chứng minh tam giác BIO vuông ở I.

b) Tìm tỉ số giữa các cạnh của tam giác ABC.