Đề thi học sinh giỏi Toán 7 số 1

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1: (2 điểm)

Cho dãy tỉ số bằng nhau: ${\displaystyle \frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d}}$

Tìm giá trị biểu thức: M= ${\displaystyle \frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{d+a}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}}$

Câu 2: (1 điểm) .

Cho S = ${\displaystyle \overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}}$.

Chứng minh rằng S không phải là số chính phương.

Câu 3: (2 điểm)

Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65 km/h, cùng lúc đó một  xe máy chạy từ B đến A với vận tốc 40 km/h. Biết khoảng cách AB là 540 km và M là trung điểm của AB. Hỏi sau khi khởi hành bao lâu thì ôtô cách M một khoảng bằng 1/2 khoảng cách từ xe máy đến M.

Câu 4: (2 điểm)

Cho tam giác ABC, O là điểm nằm trong tam giác.

a. Chứng minh rằng: $\widehat{BOC}=\hat{A}+\widehat{ABO}+\widehat{ACO}$

b. Biết $\widehat{ABO}+\widehat{ACO}={90}^0-\frac{\hat{A}}{2}$ và tia BO là tia phân giác của góc B. Chứng minh rằng: Tia CO là tia phân giác của góc C.

Câu 5: (1,5điểm).

Cho 9 đường thẳng trong đó không có 2 đường thẳng nào song song. CMR ít nhất cũng có 2 đường thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 20⁰.

Câu 6: (1,5điểm).

Khi chơi cá ngựa, thay vì gieo 1 con súc sắc, ta gieo cả hai con súc sắc cùng một lúc thì điểm thấp nhất là 2, cao nhất là 12. các điểm khác là 3; 4; 5 ;6… 11. Hãy lập bảng tần số về khả năng xuất hiện mỗi loại điểm nói trên? Tính tần xuất của mỗi loại điểm đó.