Đề thi học sinh giỏi Toán 9 tỉnh Bình Dương 2018-2019

Đề thi học sinh giỏi môn Toán 9 tỉnh Bình Dương năm học 2018-2019. Thời gian làm bài 150 phút.

Đề thi gồm 5 câu tự luận.

Câu 1: (4 điểm)

a) Tìm các chữ số x và y sao cho ${\displaystyle \overline{xxyy}={(\overline{xx})}^2+{(\overline{yy})}^2}$

b) Tìm chữ số tận cùng của số ${\displaystyle N={999999999}^{{999999}^{{999}^9}}}$

Câu 2: (3 điểm)

Giả sử phương trình: ${\displaystyle x^2+ax+b=0}$ có nghiệm ${\displaystyle x_1,x_2}$ và phương trình ${\displaystyle x^2+cx+d=0}$ có nghiệm ${\displaystyle x_3,x_4}$. Chứng minh rằng:

${\displaystyle 2\left(x_1+x_3\right)\left(x_1+x_4\right)\left(x_2+x_3\right)\left(x_2+x_4\right)=2{(b-d)}^2-\left(a^2-c^2\right)(b-d)+(b+d){(a+c)}^2}$

Câu 3: (5 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) sao cho ${\displaystyle x^2-668xy-669y^2=2019}$

b) Giải hệ phương trình: ${\displaystyle \{\begin{array}{l}2x+\frac{2}{x}+2y+\frac{2}{y}=9\\ 4x^2+\frac{4}{x^2}+4y^2+\frac{4}{y^2}=25\end{array}}$

Câu 4: (4 điểm)

Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O), lấy một điểm M (M ≠ C, M ≠ D) trên cung CD của đường tròn (O). Chứng minh: ${\displaystyle MA+MC=\sqrt{2}MB}$

Câu 5: (4 điểm)

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Tiếp tuyến tại điểm M (M ≠ A, M ≠ B) tùy ý trên đường tròn (O) cắt các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B lần lượt ở C và D.

a) Xác định vị trí của điểm M sao cho chu vi tam giác COD nhỏ nhất

b) Gọi E là giao điểm của OC với AM, F là giao điểm của OD với BM. Xác định vị trí của điểm M để đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD có bán kính nhỏ nhất.