Đề thi HSG môn Toán 6 huyện Quỳnh Lưu 2015-2016

Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 6, phòng giáo dục và đào tạo huyện Quỳnh Lưu, Nghệ An năm học 2015-2016. Thời gian làm bài: 120 phút.

Câu 1 (2 điểm)

a) Tính nhanh: 16 + (27 – 7.6) – (94.7 – 27. 99)

b) Tính tổng: A =

Câu 2 (2 điểm) Cho biểu thức:  M = 5 + 5² + 5³ + … + 5⁸⁰. Chứng tỏ rằng:

a) M chia hết cho 6.

b) M không phải là số chính phương.

Câu 3 (2 điểm)

a) Chứng tỏ rằng: ${\displaystyle \frac{2n+5}{n+3},(n\in N)}$ là phân số tối giản.

b) Tìm các giá trị nguyên của n để phân số B = ${\displaystyle \frac{2n+5}{n+3}}$ có giá trị là số nguyên.

Câu 4 (1 điểm)  Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 3 dư 1; chia cho 4 dư 2; chia cho 5 dư 3; chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11.

Câu 5 (2 điểm) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ 3 tia Oy, Oz, Ot sao cho ${\displaystyle \widehat{xOy}={30}^{\circ };\widehat{xOz}={70}^{\circ };\widehat{xOt}={110}^{\circ }}$

a) Tính ${\displaystyle \widehat{yOz}}$ và ${\displaystyle \widehat{zOt}}$

b) Trong 3 tia Oy, Oz, Ot tia nào nằm giữa 2 tia còn lại? Vì sao?

c) Chứng minh: Oz là tia phân giác của góc yOt.

Câu 6 (1 điểm)  Chứng minh rằng: ${\displaystyle \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\dots +\frac{1}{{100}^2}<1}$

Đáp án:

Câu 1  (Mỗi câu đúng, cho 1  điểm)

a) 16 + (27 – 7.6) – (94.7 – 27. 99)

= 16 + 27 – 7.6 – 94.7 + 27.99

= 16 + 27 + 27.99 – 7.6 – 94.7

= 16 + 27(99 + 1)  – 7.(6 + 94)

= 16 +27.100  – 7. 100

= 16 + 100(27- 7)   = 16 + 100.20 = 16 + 2000 = 2016

b) A = $\frac{2}{1.4}+\frac{2}{4.7}+\frac{2}{7.10}+\dots .+\frac{2}{97.100}$

Ta có $\frac{1}{1.4}=\frac{1}{3}(\frac{1}{1}-\frac{1}{4})\Rightarrow \frac{2}{1.4}=\frac{2}{3}(\frac{1}{1}-\frac{1}{4})$

Tương tự:  ${\displaystyle \frac{2}{4.7}=\frac{2}{3}(\frac{1}{4}-\frac{1}{7});\frac{2}{7.10}=\frac{2}{3}(\frac{1}{7}-\frac{1}{10})}$; ……; $\frac{2}{97.100}=\frac{2}{3}(\frac{1}{99}-\frac{1}{100})$

⇒ A = $\frac{2}{3}(\frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+\dots ..+\frac{1}{99}-\frac{1}{100})$ = $\frac{2}{3}(\frac{1}{1}-\frac{1}{100})=\frac{2}{3}.\frac{99}{100}=\frac{33}{50}$

Câu 2 (Mỗi câu đúng, cho 1 điểm)

a) Ta có: M = 5 + 5² + 5³ + … + 5⁸⁰

= 5 + 5² + 5³ + … + 5⁸⁰ = (5 + 5²) + (5³ + 5⁴) + (5⁵ + 5⁶) +… + (5⁷⁹ + 5⁸⁰)

= (5 + 5²) + 5².(5 + 5²) + 5⁴(5 + 5²) + … + 5⁷⁸(5 + 5²)

= 30 + 30.5² + 30.5⁴ + … + 30.5⁷⁸ = 30 (1+ 5² + 5⁴ + … + 5⁷⁸) ${\displaystyle ⋮}$ 30

b) Ta thấy : M = 5 + 5² + 5³ + … + 5⁸⁰ chia hết cho số nguyên tố 5.

Mặt khác, do: 5²+ 5³ + … + 5⁸⁰ chia hết cho 5² (vì tất cả các số hạng đều chia hết cho 5²)

⇒ M = 5 + 5² + 5³ + … + 5⁸⁰ không chia hết cho 5² (do 5 không chia hết cho 5²)

⇒ M chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 5²

⇒ M không phải là số chính phương.

(Vì số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p²).

Câu 3 (Mỗi câu đúng, cho 1 điểm)

a) Chứng tỏ rằng: ${\displaystyle \frac{2n+5}{n+3},\left(n\in N\right)}$  là phân số tối giản.

Gọi d là ước chung của n + 3 và 2n + 5 với d ∈ N

⇒ n + 3 $⋮$ d và 2n + 5 $⋮$ d

⇒ (n + 3) – (2n + 5) $⋮$ d   Þ 2(n + 3) – (2n + 5)  $⋮$ d ⇔  1 $⋮$ d ⇒ d = 1 ∈ N

⇒ ƯC( n + 3 và 2n + 5) = 1

⇒ ƯCLN (n + 3 và 2n + 5) = 1 ⇒ ${\displaystyle \frac{2n+5}{n+3},\left(n\in N\right)}$ là phân số tối giản.

b) Tìm các giá trị nguyên của n để phân số B = ${\displaystyle \frac{2n+5}{n+3}}$ có giá trị là số nguyên.

Ta có:   ${\displaystyle \frac{2n+5}{n+3}}$ = ${\displaystyle \frac{2(n+3)-1}{n+3}}$   = 2 – ${\displaystyle \frac{1}{n+3}}$

Để B có giá trị nguyên  thì  ${\displaystyle \frac{1}{n+3}}$ nguyên.

Mà ${\displaystyle \frac{1}{n+3}}$  nguyên ⇔ 1 $⋮$(n +3) hay  n +3  là ước của 1.

Do Ư(1) = {±1}; Ta tìm được n = {-4 ; – 2}

Câu 4: Giải

Gọi số phải tìm là x.

Theo bài ra ta có x + 2 chia hết cho 3, 4, 5, 6.

⇒ x + 2 là bội chung của 3, 4, 5, 6

Mà BCNN(3; 4; 5; 6) = 60 nên x + 2 = 60.n .

Do đó x = 60.n – 2 ;  (n = 1; 2; 3…..)

Mặt khác x$⋮$11 nên lần lượt cho n = 1; 2; 3…. Ta thấy n = 7 thì x = 418 $⋮$11

Vậy số nhỏ nhất phải tìm là 418.

Câu 5 (Vẽ hình đúng, cho 0,5 điểm. Còn lại mỗi ý 0,5 điểm)

a) ${\displaystyle \widehat{xOy}<\widehat{xOz}}$ (30⁰ < 70⁰)

⇒ Tia Oy nằm giữa 2 tia Ox và Oz

⇒ ${\displaystyle \widehat{yOz}}$ = 70⁰ – 30⁰ = 40⁰

${\displaystyle \widehat{xOz}<\widehat{xOt}}$ (70⁰ < 110⁰)

⇒ Tia Oz nằm giữa 2 tia Ox và Ot

⇒ ${\displaystyle \widehat{zOt}}$ = 110⁰ – 70⁰ = 40⁰

b) ${\displaystyle \widehat{xOy}<\widehat{xOt}}$ (30⁰ < 110⁰)

⇒ Tia Oy nằm giữa 2 tia Ox và Ot

⇒ ${\displaystyle \widehat{yOt}}$ = 110⁰ – 30⁰ = 80⁰

Theo trên, ${\displaystyle \widehat{yOz}}$ = 40⁰

⇒ ${\displaystyle \widehat{yOz}}$ < ${\displaystyle \widehat{yOt}}$   (40⁰ < 80⁰)

⇒ Tia Oz nằm giữa 2 tia Oy và Ot

c) Theo trên:

Tia Oz nằm giữa 2 tia Oy và Ot và có:

${\displaystyle \widehat{yOz}}$ = 40⁰;  ${\displaystyle \widehat{zOt}}$ = 40⁰

⇒ Oz là tia phân giác của góc yOt.

Câu 6  Chứng minh rằng : $\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{3^2}$+$\frac{1}{4^2}$+…+$\frac{1}{{100}^2}$< 1

Ta có $\frac{1}{2^2}$<$\frac{1}{2.1}$=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3^2}$<$\frac{1}{2.3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$

..

$\frac{1}{{100}^2}$<$\frac{1}{99.100}$=$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{100}$

⇒ $\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{3^2}$+…+  $\frac{1}{{100}^2}$<$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+ …+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{100}$  = 1-$\frac{1}{100}$ <1

Chú ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đúng, vẫn cho điểm tối đa.