Đề thi HSG môn Toán lớp 9 tỉnh Bình Dương năm học 2012-2013

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Bình Dương năm học 2012-2013. Thời gian làm bài 150 phút.

Câu 1: ( 4 điểm)

a. Chứng minh rằng n⁶ – n⁴ – n² + 1 chia hết cho 128 với n là số tự nhiên lẻ.

b. Trong phép chia a cho b (a,b là các số tự nhiên), nếu tăng số chia b cho một đơn vị thì thương số không thay đổi trong trường hợp nào ?

Câu 2: ( 4 điểm)

Giải hệ phương trình  :  $ \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+xy=1\\3x+y={{y}^{2}}+3\end{array} \right.$

Câu 3: ( 4 điểm)

Cho phương trình x² + px + p = 0 (1)

Tìm p, q để phương trình (1) có 2 nghiệm, mặt khác khi thêm 1 vào các nghiệm của (1) thì chúng trở thành nghiệm của phương trình x² – p²x + pq = 0

Câu 4: ( 4 điểm)

Cho tam giác ABC, có AB < AC, kẻ trung tuyến AM, đường cao AH và phân giác AD.

a. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB, Chứng minh $ \widehat{DEC}>\widehat{ACB}$.

b. Chứng minh CD > CM .

c. Chứng minh rằng điểm D nằm giữa 2 điểm H và M .

Câu 5: ( 4 điểm)

Cho góc nhọn $ \widehat{xMy}$ và điểm A cố định ( khác M) thuộc tia Mx. Vẽ đường tròn (O), tâm O sao cho tiếp xúc với Mx tại A và cắt My tại B, C theo thức tự M, B, C.

a. Gọi D là trung điểm cung BC không chứa A của (O), E là giao đểm của AD và BC. Chứng minh rằng E là điểm cố định khi đường tròn (O) thay đổi .

b. Gọi H là chân đường cao AH của tam giác AOM. Chứng minh rằng tứ giác BHOC nội tiếp đường tròn.