Đề thi HSG môn Toán lớp 9 tỉnh Phú Thọ năm học 2012-2013

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Phú Thọ năm học 2012-2013. Thời gian làm bài 150 phút. Không kể thời gian giao đề.

Câu1:

1, Giải phương trình nghiệm nguyên:

${\displaystyle 8x^2-3\text{x}y-5y=25}$

2,Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho  A=  ${\displaystyle n{.4}^n+3^n⋮7}$

Câu 2:
1, Rút gọn biểu thức:    A= ${\displaystyle \sqrt{\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{30}-2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2\sqrt{10}-2\sqrt{2}}}:\frac{2}{\sqrt{3}-1}}$

2, Cho các số thực dương a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn: ${\displaystyle \frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-z\text{x}}{b}=\frac{z^2-xy}{c}}$ .

Chứng minh rằng: ${\displaystyle \frac{a^2-bc}{x}=\frac{b^2-ca}{y}=\frac{c^2-ab}{z}}$

 Câu3:
1, Cho phương trình: ${\displaystyle x^2-6\text{x}-m=0}$ (Với m là tham số). Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm x₁ và x₂  thoả mãn: ${\displaystyle {x_1}^2-{x_2}^2=12}$

2, Giải hệ phương trình:  ${\displaystyle \{\begin{array}{l}8{\text{x}}^3{y}^3+27=18y^3\\ 4{\text{x}}^{2}y+6\text{x}=y^2\end{array}}$

Câu 4:
1, Cho đường tròn (O) đường kính BD=2R, dây cung AC của đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn vuông góc và cắt BD tại H. Gọi P,Q,R,S lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB,AD,CD,CB.

a, CMR: ${\displaystyle H{A}^2+H{B}^2+H{C}^2+H{\text{D}}^2}$ không đổi.
b, CMR :  là tứ giác nội tiếp.

2, Cho hình vuông ABCD và MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q lần lượt thuộc các cạnh  AB,BC,CD,DA của hình vuông.  CMR: ${\displaystyle S_{ABC\text{D}}}$ ≤ ${\displaystyle AC\frac{MN+NP+PQ+QM}{4}}$

Câu 5: Cho a,b,c là các số thực dương. CMR: ${\displaystyle \frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2\text{a}}+\frac{ca}{c+3a+2b}\le \frac{a+b+c}{6}}$