Đề thi Toán vào lớp 10 Khánh Hòa năm học 2014-2015

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Khánh Hòa năm học 2014-2015

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2 điểm)

1) Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức: $A=\frac{1}{\sqrt{2}+1}-\frac{\sqrt{8}-\sqrt{10}}{2-\sqrt{5}}$

2) Rút gọn biểu thức B = $(\frac{a}{a-2\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{a}-2}):\frac{\sqrt{a}+1}{a-4\sqrt{a}+4}$  với a > 0, a ≠ 4.

Bài 2: (2 điểm)

1) Cho hệ phương trình: ${\displaystyle \{\begin{array}{l}ax-y=-y\\ x-by=-a\end{array}}$

Tìm a và b biết hệ phương trình đã cho có nghiệm (x, y) = (2; 3).

2) Giải phương trình: 2(2x – 1) – ${\displaystyle 3\sqrt{5x-6}=\sqrt{3x-8}}$

Bài 3: (2 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): $y=\frac{1}{2}{x}^2$

a) Vẽ đồ thị (P).

b)Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x_A = -2. Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox sao cho |MA – MB| đạt giá trị lớn nhất, biết rằng B(1; 1).

Bài 4: (2 điểm)

Cho nửa đường tròn (O) đường kình AB = 2R. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B.

Trên cung $\stackrel{⌢}{AB}$ lấy điểm M tùy ý (M khác A và B), tia AM cắt d tại N. Gọi C là trung điểm của AM, tia CO cắt d tại D.

a) Chứng minh rằng: OBNC nội tiếp.

b) Chứng minh rằng: NO ⊥ AD

c) Chứng minh rằng: CA. CN = CO . CD.

d) Xác định vị trí điểm M để (2AM + AN) đạt giá trị nhỏ nhất.

—– HẾT —–

Giám thị không giải thích gì thêm.

Gợi ý giải:

Bài 1: (2 điểm)

1) $A=\frac{1}{\sqrt{2}+1}-\frac{\sqrt{8}-\sqrt{10}}{2-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}-1}{1}-\frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{5})}{2-\sqrt{5}}=\sqrt{2}-1-\sqrt{2}=-1$

2) B = $(\frac{a}{a-2\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{a}-2}):\frac{\sqrt{a}+1}{a-4\sqrt{a}+4}$ với a > 0, a ≠ 4.

= $(\frac{a}{a-2\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{a}-2}):\frac{\sqrt{a}+1}{a-4\sqrt{a}+4}=(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2}+\frac{a}{\sqrt{a}-2})\cdot \frac{{(\sqrt{a}-2)}^2}{\sqrt{a}+1}$

= $\frac{\sqrt{a}+a}{\sqrt{a}-2}\cdot \frac{{(\sqrt{a}-2)}^2}{\sqrt{a}+1}=\frac{\sqrt{a}(1+\sqrt{a})}{\sqrt{a}-2}\cdot \frac{{(\sqrt{a}-2)}^2}{\sqrt{a}+1}=\sqrt{a}(\sqrt{a}-2)$

Bài 2: (2 điểm)

1) Vì hệ phương trình: ${\displaystyle \{\begin{array}{l}ax-y=-y\\ x-by=-a\end{array}}$ có nghiệm (x, y) = (2; 3) nên ta có hpt:

${\displaystyle \{\begin{array}{l}2a-3=-b\\ 2-3b=-a\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2a+b=3\\ a-3b=-2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}6a+3b=9\\ a-3b=-2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}7a=7\\ 2a+b=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=1\\ b=1\end{array}}$

Vậy a = 1, b = 1

2) Giải phương trình: 2(2x – 1) – ${\displaystyle 3\sqrt{5x-6}=\sqrt{3x-8}}$

Vậy pt có nghiệm x = 3.

Bài 3: (2 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P):

a) Lập bảng giá trị (HS tự làm).

Đồ thị:

b) Vì A ∈ (P) có hoành độ x_A = -2 nên y_A = 2. Vậy A(-2; 2)

Lấy M(x_M; 0) bất kì thuộc Ox,

Ta có: |MA – MB| ≤ AB  (Do M thay đổi trên Ox và BĐT tam giác)

Dấu “=” xảy ra khi 3 điểm A, B, M thẳng hàng, khi đó M là giao điểm của đường thẳng AB và trục Ox.

– Lập pt đường thẳng AB

– Tìm giao điểm của đường thẳng AB và Ox, tìm M (4; 0).

Bài 4: (2,00 điểm)

Cho nửa đường tròn (O) đường kình AB = 2R. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B.

Trên cung $\stackrel{⌢}{AB}$ lấy điểm M tùy ý (M khác A và B), tia AM cắt d tại N. Gọi C là trung điểm của AM , tia CO cắt d tại D.

a) Chứng minh rằng: OBNC nội tiếp.

HD: Tứ giác OBNC nội tiếp có $\widehat{OCN}+\widehat{OBN}={180}^0$ 

b) Chứng minh rằng: NO ⊥ AD

HD: ΔAND có hai đường cao cắt nhau tại O,

suy ra: NO là đường cao thứ ba hay: NO ⊥ AD

c) Chứng minh rằng: CA. CN = CO . CD.

HD: ΔCAO đồng dạng ΔCDN ⇒ $\frac{CA}{C\text{D}}=\frac{CO}{CN}$ ⇒ CA. CN = CO . CD

d) Xác định vị trí điểm M để (2AM + AN) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: 2AM + AN ≥ 2$\sqrt{2AM.AN}$ (BĐT Cauchy – Côsi)

Ta chứng minh: AM. AN = AB² = 4R^2. (1)

Suy ra: 2AM + AN ≥ 2$\sqrt{2.4R^2}$ = 4R$\sqrt{2}$

Đẳng thức xẩy ra khi: 2AM = AN Þ AM = AN/2    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AM = R$\sqrt{2}$ ⇒ ΔAOM vuông tại O ⇒ M là điểm chính giữa cung AB