Đề thi vào 10 môn Toán THPT chuyên PTNK-ĐHQG TPHCM năm 2013

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán trường THPT chuyên phổ thông năng khiếu Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh năm học 2013 – 2014.

Câu I: Cho phương trình: $x^2-4mx+m^2-2m+1=0(1)$ với m là tham số.

a) Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$. Chứng minh rằng: khi đó $x_1;x_2$ không thể trái dấu nhau.

b) Tìm m sao cho: $|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}|=1$

Câu II: Giải hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}3x^2+2y+1=2z(x+2)\\ 3y^2+2z+1=2x(y+2)\\ 3z^2+2x+1=2y(z+2)\end{array}$

Câu III: Cho x, y là hai số không âm thỏa mãn $x^3+y^3\le x-y$

a) Chứng minh rằng: $y\le x\le 1$

b) Chứng minh rằng: $x^3+y^3\le x^2+y^2\le 1$

Câu IV: Cho $M=a^2+3a+1$ với a là số nguyên dương.

a) Chứng minh rằng mọi ước của M đều là số lẻ.

b) Tìm a sao cho M chia hết cho 5. Với những giá trị nào của a thì M là lũy thừa của 5?

Câu V: Cho ΔABC có $\hat{A}={60}^0$ . Đường tròn (I) nội tiếp tam giác (với tâm I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng ID cắt EF tại K, đường thẳng qua K  và song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự tại M, N.

a) Chứng minh rằng: các tứ giác IFMK và IMAN nội tiếp.

b) Gọi J là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh ba điểm A, K, J thẳng hàng.

c) Gọi r là bán kính của đường tròn (I) và S là diện tích tứ giác IEAF. Tính S theo r và chứng minh $S_{IMN}\ge \frac{S}{4}$( $S_{IMN}$ chỉ là diện tích ΔIMN)

Câu VI: Trong một kỳ thi, 60 thí sinh phải giải 3 bài toán. Khi kết thúc kỳ thi, người ta nhận thấy rằng: với hai thí sinh bất kỳ luôn có ít nhất một bài toán mà cả hai thí sinh đó đều giải được. Chứng minh rằng:

a) Nếu có một bài toán mà mọi thí sinh đều không giải được thì phải có một bài toán khác mà mọi thí sinh đều giải được.

b) Có một bài toán mà có ít nhất 40 thí sinh giải được .