6 đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán

ĐỀ SỐ 3

Câu 1:

a) Cho a, b, c là 3 số từng đôi một khác nhau và thoả mãn:

$\frac{\text{a}}{\text{b – c}}\text{ + }\frac{\text{b}}{\text{c – a}}\text{ + }\frac{\text{c}}{\text{a – b}}\text{ = 0}$

Chứng minh rằng: $\frac{\text{a}}{{\text{(b – c)}}^2}\text{ + }\frac{\text{b}}{{\text{(c – a)}}^2}\text{ + }\frac{\text{c}}{{\text{(a – b)}}^2}\text{ = 0}$

b) Tính giá trị của biểu thức:

A = ${\left(\frac{\sqrt[4]{{2010}^2}\text{ – }\sqrt[4]{2010}}{1\text{ – }\sqrt[4]{2010}}\text{ + }\frac{1\text{ + }\sqrt{2010}}{\sqrt[4]{2010}}\right)}^2\text{ – }\frac{\sqrt{1\text{ + }\frac{2}{\sqrt{2010}}\text{ + }\frac{1}{2010}}}{1\text{ + }\sqrt{2010}}$

Câu 2:

a) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác, chứng minh:

$\frac{1}{{\text{a}}^2\text{ + bc}}\text{ + }\frac{1}{{\text{b}}^2\text{ + ac}}\text{ + }\frac{1}{{\text{c}}^2\text{ + ab}}\le \frac{\text{a + }\text{b + c}}{\text{2abc}}$

b) Cho biểu thức: A = x – 2$\sqrt{\text{xy}}\text{ +}\text{3y – 2}\sqrt{\text{x}}\text{ + 1}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

Câu 3:

a) Giải phương trình: $\text{2}\sqrt{\text{x – 1}}\text{ + 3}\sqrt{5\text{ – x}}\text{ = 2}\sqrt{13}$ .

b) Cho hàm số y = f(x) với f(x) là một biểu thức đại số xác định với mọi số thực x khác

không. Biết rằng: f(x) + 3f$\left(\frac{1}{\text{x}}\right)$ = x²  x ≠ 0. Tính giá trị của f(2).

Câu 4: Cho lục giác đều  ABCDEF.  Gọi  M là  trung điểm của  EF,  K là   trung điểm của BD. Chứng minh tam giác AMK là tam giác đều.

Câu 5: Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích S và điểm O nằm trong tứ giác sao cho:OA² + OB² + OC² + OD² = 2S. Chứng minh ABCD là hình vuông có tâm là điểm O.