ĐỀ SỐ 3
Câu 1:
a) Cho a, b, c là 3 số từng đôi một khác nhau và thoả mãn:
$ \frac{\text{a}}{\text{b – c}}\text{ + }\frac{\text{b}}{\text{c – a}}\text{ + }\frac{\text{c}}{\text{a – b}}\text{ = 0}$
Chứng minh rằng: $ \frac{\text{a}}{{{\text{(b – c)}}^{2}}}\text{ + }\frac{\text{b}}{{{\text{(c – a)}}^{2}}}\text{ + }\frac{\text{c}}{{{\text{(a – b)}}^{2}}}\text{ = 0}$
b) Tính giá trị của biểu thức:
A = $ {{\left( \frac{\sqrt[4]{{{2010}^{2}}}\text{ – }\sqrt[4]{2010}}{1\text{ – }\sqrt[4]{2010}}\text{ + }\frac{1\text{ + }\sqrt{2010}}{\sqrt[4]{2010}} \right)}^{2}}\text{ – }\frac{\sqrt{1\text{ + }\frac{2}{\sqrt{2010}}\text{ + }\frac{1}{2010}}}{1\text{ + }\sqrt{2010}}$
Câu 2:
a) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác, chứng minh:
$ \frac{1}{{{\text{a}}^{2}}\text{ + bc}}\text{ + }\frac{1}{{{\text{b}}^{2}}\text{ + ac}}\text{ + }\frac{1}{{{\text{c}}^{2}}\text{ + ab}}\text{ }\le \text{ }\frac{\text{a + }\text{b + c}}{\text{2abc}}$
b) Cho biểu thức: A = x – 2$ \sqrt{\text{xy}}\text{ +}\text{3y – 2}\sqrt{\text{x}}\text{ + 1}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Câu 3:
a) Giải phương trình: $ \text{2}\sqrt{\text{x – 1}}\text{ + 3}\sqrt{5\text{ – x}}\text{ = 2}\sqrt{13}$ .
b) Cho hàm số y = f(x) với f(x) là một biểu thức đại số xác định với mọi số thực x khác
không. Biết rằng: f(x) + 3f$ \left( \frac{1}{\text{x}} \right)$ = x2 x ≠ 0. Tính giá trị của f(2).
Câu 4: Cho lục giác đều ABCDEF. Gọi M là trung điểm của EF, K là trung điểm của BD. Chứng minh tam giác AMK là tam giác đều.
Câu 5: Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích S và điểm O nằm trong tứ giác sao cho:OA2 + OB2 + OC2 + OD2 = 2S. Chứng minh ABCD là hình vuông có tâm là điểm O.