6 đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán

ĐỀ SỐ 4

Câu 1:

a) Cho x và y là 2 số thực thoả mãn x² + y² = 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A = $\frac{\text{xy}}{\text{x + y + 2}}$.

b) Cho x, y, z là 3 số thực dương thoả mãn x² + y² + z² = 2. Chứng minh:

$\frac{2}{{\text{x}}^2\text{ + }{\text{y}}^2}\text{ + }\frac{2}{{\text{y}}^2\text{ +}{\text{z}}^2}\text{ +}\frac{2}{{\text{z}}^2\text{ + }{\text{x}}^2}\le \frac{{\text{x}}^3\text{ + }{\text{y}}^3\text{ + }{\text{z}}^3}{\text{2 xyz}}\text{ +}\text{ 3}$

Câu 2:

a) Giải phương trình: x² + 9x + 20 = 2$\sqrt{\text{3x + 10}}$ .

b) Tìm x, y thoả mãn: $\{\begin{array}{l}{\text{x}}^2{\text{y}}^2\text{ – 2x +}{\text{y}}^2\text{ = 0}\\ 2{\text{x}}^2\text{ – 4x + 3 = – }{\text{y}}^3\end{array}$ .

Câu 3:

a) Chứng minh rằng nếu: $\sqrt{{\text{x}}^2\text{ + }\sqrt[3]{{\text{x}}^4{\text{y}}^2}}\text{ + }\sqrt{{\text{y}}^2\text{ + }\sqrt[3]{{\text{x}}^2{\text{y}}^4}}\text{ = a}$ thì $\sqrt[3]{{\text{x}}^2}\text{ + }\sqrt[3]{{\text{y}}^2}\text{ = }\sqrt[3]{{\text{a}}^2}$ .

b) Chứng minh rằng nếu phương trình x⁴ + ax³ + bx² + ax +1 = 0 có nghiệm thì 5(a² + b²) ≥ 4.

Câu 4: Cho nửa đường tròn  tâm (O) đường kính  AB = 2R  và bán kính OC vuông góc với AB. Tìm điểm M trên  nửa đường tròn sao cho 2MA² = 15MK²,  trong đó K là chân đường vuông góc hạ  từ M xuống OC.

Câu 5: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi  E và F lần lượt là trung điểm của BD và AC. Gọi G là giao điểm của đường thẳng đi qua F vuông góc với AD với đường thẳng đi qua E vuông góc với BC. So sánh GD và GC.