6 đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán

ĐỀ SỐ 6

Câu 1: Tính giá trị biểu thức:

A = $\frac{1}{\sqrt{1}\text{ + }\sqrt{2}}\text{ + }\frac{1}{\sqrt{2}\text{ + }\sqrt{3}}\text{ + }\cdot \cdot \cdot \text{ + }\frac{1}{\sqrt{24}\text{ + }\sqrt{25}}$

Câu 2:

a) Cho các số khác không a, b, c. Tính giá trị của biểu thức:

M = x²⁰¹¹ + y²⁰¹¹ + z²⁰¹¹

Biết x, y, z thoả mãn điều kiện: $\frac{{\text{x}}^2\text{ + }{\text{y}}^2\text{ + }{\text{z}}^2}{{\text{a}}^2\text{ + }{\text{b}}^2\text{ + }{\text{c}}^2}\text{ = }\frac{{\text{x}}^2}{{\text{a}}^2}\text{ + }\frac{{\text{y}}^2}{{\text{b}}^2}\text{ + }\frac{{\text{z}}^2}{{\text{c}}^2}$

b) Chứng minh rằng với a > $\frac{1}{8}$ thì số sau đây là một số nguyên dương.

x = $\sqrt[3]{\text{a + }\frac{\text{a + 1}}{3}\sqrt{\frac{8\text{a – 1}}{3}}}\text{ + }\sqrt[3]{\text{a – }\frac{\text{a + 1}}{3}\sqrt{\frac{\text{8a – 1}}{3}}}$

Câu 3:

a) Cho a, b, c > 0 thoả mãn: $\frac{1}{\text{1 + a}}\text{ + }\frac{35}{35\text{ + 2b}}\le \frac{\text{4c}}{\text{4c + 57}}$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của A = a.b.c

b) Giả sử a, b, c, d, A, B, C, D là những số dương và:

$\frac{\text{a}}{\text{A}}\text{ = }\frac{\text{b}}{\text{B}}\text{ = }\frac{\text{c}}{\text{C}}\text{ = }\frac{\text{d}}{\text{D}}$

Chứng minh rằng:

$\sqrt{\text{aA}}\text{ + }\sqrt{\text{bB}}\text{ + }\sqrt{\text{cC}}\text{ + }\sqrt{\text{dD}}\text{ = }\sqrt{\text{(a + b + c + d) (A +}\text{B + C + D)}}$

Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi M, N, P, Q là bốn đỉnh của một hình chữ nhật (M và N nằm trên cạnh BC, P nằm trên cạnh AC và Q nằm trên cạnh AB).

a) Chứng minh rằng: Diện tích hình chữ nhật MNPQ có giá trị lớn nhất khi PQ đi qua trung điểm của đường cao AH.

b) Giả sử AH = BC. Chứng minh rằng, mọi hình chữ nhật MNPQ đều có chu vi bằng nhau.

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân ở A, đường trung tuyến BM. Gọi D là hình chiếu của C trên tia BM, H là hình chiếu của D trên AC. Chứng minh rằng AH = 3HD.