- Đại số 9 – Chuyên đề 1 – Căn bậc hai & Hằng đẳng thức
- Đại số 9 – Chuyên đề 1 – Căn bậc hai & Hằng đẳng thức (tiếp)
- Đại số 9 – Chuyên đề 2 – Nhân, chia căn thức bậc hai
- Đại số 9 – Chuyên đề 2 – Nhân, chia căn thức bậc hai (tiếp)
- Đại số 9 – Chuyên đề 3 – Biến đổi & rút gọn căn thức bậc hai
- Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Bồi dưỡng Toán 9
LÝ THUYẾT
Mục lục
I . Liên hệ giữa phép nhân, phép chia với phép khai phương
| 1. Với A ≥ 0, B ≥ 0 thì: Khai phương một tích $ \displaystyle \sqrt{{A.B}}=\sqrt{A}.\sqrt{B}$ Nhân các căn thức bậc hai 2. Với A ≥ 0, B > 0 thì: Khai phương một thương $ \displaystyle \sqrt{{\frac{A}{B}}}=\frac{{\sqrt{A}}}{{\sqrt{B}}}$ Chia hai căn thức bậc hai |
II . Bổ sung
| 1. Với A1, A2, …, An ≥ 0 thì: $ \displaystyle \sqrt{{{{A}_{1}}.{{A}_{2}}…{{A}_{n}}}}=\sqrt{{{{A}_{1}}}}.\sqrt{{{{A}_{2}}}}…\sqrt{{{{A}_{n}}}}$ 2. Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì: $ \displaystyle \sqrt{{a+b}}\le \sqrt{a}+\sqrt{b}$ (dấu “=” xảy ra Û a = 0 hoặc b = 0) 3. Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì: $ \displaystyle \sqrt{{a-b}}\ge \sqrt{a}-\sqrt{b}$ (dấu “=” xảy ra Û a = b hoặc b = 0) 4. Công thức “căn phức tạp” $ \displaystyle \sqrt{{A\pm B}}=\sqrt{{\frac{{A+\sqrt{{{{A}^{2}}-B}}}}{2}}}\pm \sqrt{{\frac{{A-\sqrt{{{{A}^{2}}-B}}}}{2}}}$ Trong đó A > 0; B > 0 và A2 > B. 5. BĐT Cô-si (còn gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân) Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì: $ \displaystyle \frac{{a+b}}{2}\ge \sqrt{{ab}}$ (dấu “=” xảy ra Û a = b). Vài dạng khác của bất đẳng thức Cô-si: · Dạng có chứa dấu căn: $ \displaystyle a+b\ge 2\sqrt{{ab}}$ với a ≥ 0; b ≥ 0; $ \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{{ab}}}}\ge \frac{2}{{a+b}}$ với a > 0; b > 0. · Dạng không có chứa dấu căn: $ \displaystyle \frac{{{{{(a+b)}}^{2}}}}{2}\ge ab$; $ \displaystyle {{(a+b)}^{2}}\ge 4ab$; $ \displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab$; 6. BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki (đối với hai bộ số) · Mỗi bộ có hai số (a1 ; a2) và (b1 ; b2) $ \displaystyle {{({{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}})}^{2}}\le (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})$; · Mỗi bộ có ba số (a1 ; a2 ; a3) và (b1 ; b2 ; b3) $ \displaystyle {{({{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+{{a}_{3}}{{b}_{3}})}^{2}}\le (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2})$; · Mỗi bộ có n số (a1 ; a2 ; …; an) và (b1 ; b2 ; …; bn) $ \displaystyle {{({{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+…+{{a}_{n}}{{b}_{n}})}^{2}}\le (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+…+b_{n}^{2})$; (dấu “=” xảy ra Û $ \displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{b}_{1}}}}=\frac{{{{a}_{2}}}}{{{{b}_{2}}}}=…=\frac{{{{a}_{n}}}}{{{{b}_{n}}}}$ với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0) |
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: Thực hiện phép tính
Bài tập 1: Tính:
a) A = $ \displaystyle \sqrt{{3+\sqrt{{5+2\sqrt{3}}}}}.\sqrt{{3-\sqrt{{5+2\sqrt{3}}}}}$;
b) B = $ \displaystyle \sqrt{{4+\sqrt{8}}}.\sqrt{{2+\sqrt{{2+\sqrt{2}}}}}.\sqrt{{2-\sqrt{{2+\sqrt{2}}}}}$.
Bài tập 2: Thực hiện phép tính:
| a) $ \displaystyle (\sqrt{{12}}+3\sqrt{{15}}-4\sqrt{{135}}).\sqrt{3}$; | b) $ \displaystyle \sqrt{{252}}-\sqrt{{700}}+\sqrt{{1008}}-\sqrt{{448}}$; |
| c) $ \displaystyle 2\sqrt{{40\sqrt{{12}}}}-2\sqrt{{\sqrt{{75}}}}-3\sqrt{{5\sqrt{{48}}}}$. |
Bài tập 3: Thực hiện phép tính:
| a) $ \displaystyle (\sqrt{{12}}+\sqrt{{75}}+\sqrt{{27}}):\sqrt{{15}}$; | c) $ \displaystyle \left( {\frac{{\sqrt{1}}}{{\sqrt{7}}}-\sqrt{{\frac{{16}}{7}}}+\sqrt{{\frac{9}{7}}}} \right):\sqrt{7}$. |
| b) $ \displaystyle (12\sqrt{{50}}-8\sqrt{{200}}+7\sqrt{{450}}):\sqrt{{10}}$; |
Bài tập 4: Cho a = $ \displaystyle \sqrt{{\frac{3}{5}}}+\sqrt{{\frac{5}{3}}}$. Tính giá trị của biểu thức: M = $ \displaystyle \sqrt{{15{{a}^{2}}-8a\sqrt{{15}}+16}}$.
Bài tập 5: Tính:
| a) $ \displaystyle \frac{{\sqrt{{99999}}}}{{\sqrt{{11111}}}}$; | b) $ \displaystyle \frac{{\sqrt{{{{{84}}^{2}}-{{{37}}^{2}}}}}}{{\sqrt{{47}}}}$; | c) $ \displaystyle \sqrt{{\frac{{5({{{38}}^{2}}-{{{17}}^{2}})}}{{8({{{47}}^{2}}-{{{19}}^{2}})}}}}$; | d) $ \displaystyle \sqrt{{\frac{{0,2\,\,.\,\,1,21\,\,.\,\,0,3}}{{7,5\,\,.\,\,3,2\,\,.\,\,0,64}}}}$. |
Bài tập 6: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng tích rồi tính:
| a) $ \displaystyle \sqrt{{{{{27}}^{2}}-{{{23}}^{2}}}}$; | b) $ \displaystyle \sqrt{{{{{37}}^{2}}-{{{35}}^{2}}}}$; |
| c) $ \displaystyle \sqrt{{{{{65}}^{2}}-{{{63}}^{2}}}}$; | d) $ \displaystyle \sqrt{{{{{117}}^{2}}-{{{108}}^{2}}}}$. |
Bài tập 7: Cho hai số có tổng bằng $ \displaystyle \sqrt{{19}}$ và có hiệu bằng $ \displaystyle \sqrt{7}$. Tính tích của hai số đó.
Bài tập 8: Tính $ \displaystyle \sqrt{A}$ biết:
| a) A = $ \displaystyle 13-2\sqrt{{42}}$; | b) A = $ \displaystyle 46+6\sqrt{5}$; |
| c) A = $ \displaystyle 12-3\sqrt{{15}}$. |
Bài tập 9: Tính:
| a) $ \displaystyle \sqrt{{3+\sqrt{5}}}-\sqrt{{3-\sqrt{5}}}-\sqrt{2}$; | b) $ \displaystyle \sqrt{{4-\sqrt{7}}}-\sqrt{{4+\sqrt{7}}}+\sqrt{7}$; |
| c) $ \displaystyle \sqrt{{6,5+\sqrt{{12}}}}+\sqrt{{6,5-\sqrt{{12}}}}+2\sqrt{6}$. |
Bài tập 10: Thực hiện các phép tính:
| a) $ \displaystyle (4+\sqrt{{15}})(\sqrt{{10}}-\sqrt{6})\sqrt{{4-\sqrt{{15}}}}$; | c) $ \displaystyle \frac{{\sqrt{{\sqrt{5}+2}}+\sqrt{{\sqrt{5}-2}}}}{{\sqrt{{\sqrt{5}+1}}}}-\sqrt{{3-2\sqrt{2}}}$. |
| b) $ \displaystyle \sqrt{{3-\sqrt{5}}}(\sqrt{{10}}-\sqrt{2})(3+\sqrt{5})$; |
Bài tập 11: Biết x = $ \displaystyle (\sqrt{{10}}-\sqrt{6}).\sqrt{{4+\sqrt{{15}}}}$.
Tính giá trị của biểu thức: M = $ \displaystyle \frac{{\sqrt{{4x+4+\frac{1}{x}}}}}{{\sqrt{x}\left| {2{{x}^{2}}-x-1} \right|}}$
Bài tập 12: Tính:
a) Q = $ \displaystyle (3-\sqrt{5})\sqrt{{3+\sqrt{5}}}+(3+\sqrt{5})\sqrt{{3-\sqrt{5}}}$;
b) R = $ \displaystyle \sqrt{{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{{2+\sqrt{{2+\sqrt{3}}}}}.\sqrt{{2+\sqrt{{2+\sqrt{{2+\sqrt{3}}}}}}}.\sqrt{{2-\sqrt{{2+\sqrt{{2+\sqrt{3}}}}}}}$.
Bài tập 13: So sánh:
| a) $ \displaystyle 3+\sqrt{5}$ và $ \displaystyle 2\sqrt{2}+\sqrt{6}$; | b) $ \displaystyle 2\sqrt{3}+4$ và $ \displaystyle 3\sqrt{2}+\sqrt{{10}}$; |
| c) 18 và $ \displaystyle \sqrt{{15}}.\sqrt{{17}}$. |
Bài tập 14*:
a) Nêu một cách tính nhẩm 9972;
b) Tính tổng các chữ số của A, biết rằng $ \displaystyle \sqrt{A}$ = 99…96 (có 100 chữ số 9).
DẠNG 2: Rút gọn biểu thức
Bài tập 15: Rút gọn biểu thức M = $ \displaystyle \sqrt{{4+\sqrt{7}}}-\sqrt{{4-\sqrt{7}}}$.
Bài tập 16: Rút gọn biểu thức:
| a) $ \displaystyle \sqrt{{11-2\sqrt{{10}}}}$; | b) $ \displaystyle \sqrt{{9-2\sqrt{{14}}}}$; |
| c) $ \displaystyle \sqrt{{4+2\sqrt{3}}}-\sqrt{{4-2\sqrt{3}}}$; | d) $ \displaystyle \sqrt{{9-4\sqrt{5}}}-\sqrt{{9+4\sqrt{5}}}$; |
| e) $ \displaystyle \sqrt{{4-\sqrt{7}}}-\sqrt{{4+\sqrt{7}}}$; | f) $ \displaystyle \frac{{\sqrt{3}+\sqrt{{11+6\sqrt{2}}}-\sqrt{{5+2\sqrt{6}}}}}{{\sqrt{2}+\sqrt{{6+2\sqrt{5}}}-\sqrt{{7+2\sqrt{{10}}}}}}$; |
| g) $ \displaystyle \sqrt{{5\sqrt{3}+5\sqrt{{48-10\sqrt{{7+4\sqrt{3}}}}}}}$; | |
| h) $ \displaystyle \sqrt{{4+\sqrt{{10+2\sqrt{5}}}}}+\sqrt{{4-\sqrt{{10+2\sqrt{5}}}}}$; | i) $ \displaystyle \sqrt{{94-42\sqrt{5}}}-\sqrt{{94+42\sqrt{5}}}$. |
Bài tập 17: Rút gọn các biểu thức:
| a) A = $ \displaystyle \frac{{\sqrt{6}+\sqrt{{14}}}}{{2\sqrt{3}+\sqrt{{28}}}}$; | b) B = $ \displaystyle \frac{{9\sqrt{5}+3\sqrt{{27}}}}{{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}$; |
| c) C = $ \displaystyle \frac{{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4}}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}}$; | d) D = $ \displaystyle \frac{{3\sqrt{8}-2\sqrt{{12}}+\sqrt{{20}}}}{{3\sqrt{{18}}-2\sqrt{{27}}+\sqrt{{45}}}}$. |
Bài tập 18: Rút gọn biểu thức: M = $ \displaystyle \frac{{\sqrt{{\sqrt{7}-\sqrt{3}}}-\sqrt{{\sqrt{7}+\sqrt{3}}}}}{{\sqrt{{\sqrt{7}-2}}}}$.
Bài tập 19: Rút gọn các biểu thức:
| a) A = $ \displaystyle \sqrt{{6+2\sqrt{2}.\sqrt{{3-\sqrt{{4+2\sqrt{3}}}}}}}$; | b) B = $ \displaystyle \sqrt{5}-\sqrt{{3-\sqrt{{29-12\sqrt{5}}}}}$; |
| c) C = $ \displaystyle \sqrt{{3-\sqrt{5}}}.(\sqrt{{10}}-\sqrt{2})(3+\sqrt{5})$. |
Bài tập 20: Rút gọn biểu thức: A = $ \displaystyle \sqrt{{x+\sqrt{{2x-1}}}}-\sqrt{{x-\sqrt{{2x-1}}}}$.
Bài tập 21: Rút gọn biểu thức: P = $ \displaystyle \sqrt{{x+2\sqrt{{x-1}}}}+\sqrt{{x-2\sqrt{{x-1}}}}$.
Bài tập 22: Rút gọn biểu thức: A = $ \displaystyle \sqrt{{x+2\sqrt{{2x-4}}}}+\sqrt{{x-2\sqrt{{2x-4}}}}$.
Bài tập 23: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
a) A = $ \displaystyle \sqrt{{\frac{{{{{(x-6)}}^{4}}}}{{{{{(5-x)}}^{2}}}}}}-\frac{{{{x}^{2}}-36}}{{x-5}}$ (x < 5), tại x = 4;
b) B = $ \displaystyle 5x-\sqrt{{125}}+\frac{{\sqrt{{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}}}}{{\sqrt{{x+5}}}}$ (x ≥ 0), tại x = $ \displaystyle \sqrt{5}$.
Bài tập 24: Rút gọn biểu thức:
| a) A = $ \displaystyle \frac{2}{{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}.\sqrt{{\frac{{3{{x}^{2}}+6xy+3{{y}^{2}}}}{4}}}$; | b) B = $ \displaystyle \frac{1}{{2a-1}}.\sqrt{{5{{a}^{4}}(1-4a+4{{a}^{2}})}}$. |
Bài tập 25: Cho a > 0, hãy so sánh $ \displaystyle \sqrt{{a+1}}+\sqrt{{a+3}}$ với $ \displaystyle 2\sqrt{{a+2}}$.
Bài tập 26: Rút gọn biểu thức:
M = $ \displaystyle \frac{{\sqrt{{1+\sqrt{{1-{{x}^{2}}}}}}\left[ {\sqrt{{{{{(1+x)}}^{3}}}}-\sqrt{{{{{(1-x)}}^{3}}}}} \right]}}{{2+\sqrt{{1-{{x}^{2}}}}}}$.
Bài tập 27: Cho biểu thức: A = $ \displaystyle \sqrt{{\frac{{{{{({{x}^{2}}-3)}}^{2}}+12{{x}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}}}+\sqrt{{{{{(x+2)}}^{2}}-8x}}$.
a) Rút gọn A;
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của A là một số nguyên.
Bài tập 28: Cho biểu thức: A = $ \displaystyle \frac{{x+\sqrt{{{{x}^{2}}-2x}}}}{{x-\sqrt{{{{x}^{2}}-2x}}}}-\frac{{x-\sqrt{{{{x}^{2}}-2x}}}}{{x+\sqrt{{{{x}^{2}}-2x}}}}$.
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A;
b) Rút gọn biểu thức A;
c) Tìm giá trị của x để A < 2.
Bài tập 29: Lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên, trong đó:
a) $ \displaystyle 2+\sqrt{3}$ là một nghiệm của phương trình;
b) $ \displaystyle 6-4\sqrt{2}$ là một nghiệm của phương trình.
Bài tập 30*:
a) Rút gọn biểu thức A = $ \displaystyle \sqrt{{1+\frac{1}{{{{a}^{2}}}}+\frac{1}{{{{{(a+1)}}^{2}}}}}}$ với a > 0;
b) Tính giá trị của tổng:
B = $ \displaystyle \sqrt{{1+\frac{1}{{{{1}^{2}}}}+\frac{1}{{{{2}^{2}}}}}}+\sqrt{{1+\frac{1}{{{{2}^{2}}}}+\frac{1}{{{{3}^{2}}}}}}+\sqrt{{1+\frac{1}{{{{3}^{2}}}}+\frac{1}{{{{4}^{2}}}}}}+…+\sqrt{{1+\frac{1}{{{{{99}}^{2}}}}+\frac{1}{{{{{100}}^{2}}}}}}$.
DẠNG 3: Giải phương trình
Bài tập 31: Giải phương trình:
| a) $ \displaystyle \sqrt{{5{{x}^{2}}}}=2x+1$; | b) $ \displaystyle \frac{{\sqrt{{2x-3}}}}{{\sqrt{{x-1}}}}=2$. |
Bài tập 32: Giải phương trình:
| a) $ \displaystyle 1+\sqrt{{3x+1}}=3x$; | b) $ \displaystyle \sqrt{{2+\sqrt{{3x-5}}}}=\sqrt{{x+1}}$; |
| c) $ \displaystyle \sqrt{{\frac{{5x+7}}{{x+3}}}}=4$; | d) $ \displaystyle \frac{{\sqrt{{5x+7}}}}{{\sqrt{{x+3}}}}=4$. |
Bài tập 33: Tìm x và y biết rằng x + y + 12 = $ \displaystyle 4\sqrt{x}+6\sqrt{{y-1}}$.
Bài tập 34: Tìm x, y, z biết: $ \displaystyle \sqrt{{x-a}}+\sqrt{{y-b}}+\sqrt{{z-c}}=\frac{1}{2}\left( {x+y+z} \right)$ trong đó a+b+c = 3.
Bài tập 35: Giải phương trình: $ \displaystyle \sqrt{{x+3-4\sqrt{{x-1}}}}+\sqrt{{x+8+6\sqrt{{x-1}}}}=5$.
Bài tập 36: Giải phương trình: $ \displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}-5x+6}}+\sqrt{{x+1}}=\sqrt{{x-2}}+\sqrt{{{{x}^{2}}-2x-3}}$.
DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
Bài tập 37: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = $ \displaystyle \sqrt{{x-5}}+\sqrt{{13-x}}$.
Bài tập 38:
a) Tìm GTLN của biểu thức A = $ \displaystyle \sqrt{{x+1}}-\sqrt{{x-8}}$;
b) Tìm GTNN của biểu thức B = $ \displaystyle \sqrt{{x-3}}+\sqrt{{5-x}}$.
Bài tập 39: Cho biểu thức: M = $ \displaystyle \frac{{{{x}^{2}}-\sqrt{2}}}{{{{x}^{4}}+(\sqrt{3}-\sqrt{2}){{x}^{2}}-\sqrt{6}}}$
Rút gọn rồi tìm giá trị của x để M có giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
DẠNG 5: Chứng minh biểu thức
Bài tập 40: Có tồn tại các số hữu tỉ dương a, b hay không nếu:
| a) $ \displaystyle \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{2}$; | b) $ \displaystyle \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{{\sqrt{2}}}$. |
Bài tập 41: Cho ba số x, y, $ \displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}$ là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số $ \displaystyle \sqrt{x}$, $ \displaystyle \sqrt{y}$ đều là số hữu tỉ.
Bài tập 42: Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng tồn tại một số dương trong hai số $ \displaystyle 2a+b-2\sqrt{{cd}}$ và $ \displaystyle 2c+d-2\sqrt{{ab}}$.
Bài tập 43:
a) Chứng minh rằng với a > 0 thì, b > 0 thì $ \displaystyle \sqrt{{a+b}}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$;
b) So sánh $ \displaystyle \sqrt{{2017+2018}}$ với $ \displaystyle \sqrt{{2017}}+\sqrt{{2018}}$.
Bài tập 44: Cho a, b, x, y > 0. Chứng minh rằng $ \displaystyle \sqrt{{ax}}+\sqrt{{by}}\le \sqrt{{(a+b)(x+y)}}$.
Bài tập 45: Cho a, b, c là các số thực không âm.
Chứng minh: $ \displaystyle a+b+c\ge \sqrt{{ab}}+\sqrt{{ac}}+\sqrt{{bc}}$.
Bài tập 46: Chứng minh bất đẳng thức: $ \displaystyle \sqrt{{n+a}}+\sqrt{{n-a}}<2\sqrt{n}$ với 0 < |a| ≤ n.
Áp dụng (không dùng máy tính hoặc bảng số): chứng minh rằng: $ \displaystyle \sqrt{{101}}-\sqrt{{99}}>0,1$.
Bài tập 47: Cho A, B . Chứng minh rằng số 99999 + $ \displaystyle 11111\sqrt{3}$ không thể biểu diễn dưới dạng $ \displaystyle {{(A+B\sqrt{3})}^{2}}$.
Bài tập 48: Cho A = $ \displaystyle a\sqrt{a}+\sqrt{{ab}}$ và B = $ \displaystyle b\sqrt{b}+\sqrt{{ab}}$ với a > 0, b > 0.
Chứng minh rằng nếu và đều là các số hữu tỉ thì A + B và A.B cũng là các số hữu tỉ.
Bài tập 49: Chứng minh các hằng đẳng thức sau với b ≥ 0, a ≥ $ \displaystyle \sqrt{b}$:
a) $ \displaystyle \sqrt{{a+\sqrt{b}}}\pm \sqrt{{a-\sqrt{b}}}=\sqrt{{2(a\pm \sqrt{{{{a}^{2}}-b}})}}$;
b) $ \displaystyle \sqrt{{a\pm \sqrt{b}}}=\sqrt{{\frac{{a+\sqrt{{{{a}^{2}}-b}}}}{2}}}\pm \sqrt{{\frac{{a-\sqrt{{{{a}^{2}}-b}}}}{2}}}$.
Bài tập 50: Chứng minh rằng: $ \displaystyle 2(\sqrt{{n+1}}-\sqrt{n})<\frac{1}{{\sqrt{n}}}<2(\sqrt{n}-\sqrt{{n-1}})$ với n Î $ \displaystyle {{\mathbb{N}}^{*}}$.
Áp dụng: cho S = $ \displaystyle 1+\frac{1}{{\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{{100}}}}$. Chứng minh rằng 18 < S < 19.
Bài tập 51: Chứng minh rằng: $ \displaystyle \frac{1}{{2\sqrt{{n+1}}}}<\sqrt{{n+1}}-\sqrt{n}$ với n Î $ \displaystyle \mathbb{N}$.
Áp dụng chứng minh rằng: $ \displaystyle 1+\frac{1}{{\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{{2500}}}}<100$.
Bài tập 52: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + xz = 1. Tính tổng:
S = $ \displaystyle x\sqrt{{\frac{{(1+{{y}^{2}})(1+{{z}^{2}})}}{{1+{{x}^{2}}}}}}+y\sqrt{{\frac{{(1+{{x}^{2}})(1+{{z}^{2}})}}{{1+{{y}^{2}}}}}}+z\sqrt{{\frac{{(1+{{x}^{2}})(1+{{y}^{2}})}}{{1+{{z}^{2}}}}}}$.
Bài tập 53: Cho a, b, c là ba số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
A = $ \displaystyle \sqrt{{\frac{1}{{{{{(a-b)}}^{2}}}}+\frac{1}{{{{{(b-c)}}^{2}}}}+\frac{1}{{{{{(c-a)}}^{2}}}}}}$ là số hữu tỉ.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki.
Bài tập 54: Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng x + y + z ≥ $ \displaystyle \sqrt{{xy}}+\sqrt{{yz}}+\sqrt{{zx}}$.
Bài tập 55: Cho A = $ \displaystyle \sqrt{{x+3}}+\sqrt{{5-x}}$. Chứng minh rằng A ≤ 4.
Bài tập 56: Cho B = $ \displaystyle \frac{{{{x}^{3}}}}{{1+y}}+\frac{{{{y}^{3}}}}{{1+x}}$ trong đó x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện xy = 1. Chứng minh rằng B ≥ 1.
Bài tập 57: Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn điều kiện $ \displaystyle \frac{1}{{x+1}}+\frac{1}{{y+1}}+\frac{1}{{z+1}}=2$.
Chứng minh rằng xyz ≤ $ \displaystyle \frac{1}{8}$.
Bài tập 58: Tìm các số dương x, y, z sao cho x + y + z = 3 và x4 + y4 + z4 = 3xyz.
Bài tập 59: Cho $ \displaystyle \sqrt{x}+2\sqrt{y}=10$. Chứng minh rằng x + y ≥ 20.
Bài tập 60: Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh rằng:
A =$ \displaystyle \sqrt{{x+y}}+\sqrt{{y+z}}+\sqrt{{z+x}}\le \sqrt{6}$.