Đại số 9 - Chuyên đề 2 - Nhân, chia căn thức bậc hai

Chuyên đề Toán 9

Đại số 9 – Chuyên đề 1 – Căn bậc hai & Hằng đẳng thức
Đại số 9 – Chuyên đề 1 – Căn bậc hai & Hằng đẳng thức (tiếp)
Đại số 9 – Chuyên đề 2 – Nhân, chia căn thức bậc hai
Đại số 9 – Chuyên đề 2 – Nhân, chia căn thức bậc hai (tiếp)
Đại số 9 – Chuyên đề 3 – Biến đổi & rút gọn căn thức bậc hai
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Bồi dưỡng Toán 9

LÝ THUYẾT

Mục lục [hiện]

I . Liên hệ giữa phép nhân, phép chia với phép khai phương

1. Với A ≥ 0, B ≥ 0 thì:

Khai phương một tích

$\sqrt{A . B} = \sqrt{A} . \sqrt{B}$

Nhân các căn thức bậc hai

2. Với A ≥ 0, B > 0 thì:

Khai phương một thương

$\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

Chia hai căn thức bậc hai

II . Bổ sung

1. Với A₁, A₂, …, A_n ≥ 0 thì:

\sqrt{A_{1} . A_{2} \dots A_{n}} = \sqrt{A_{1}} . \sqrt{A_{2}} \dots \sqrt{A_{n}}

2. Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì: $\sqrt{a + b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ (dấu “=” xảy ra Û a = 0 hoặc b = 0)

3. Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì: $\sqrt{a - b} \geq \sqrt{a} - \sqrt{b}$ (dấu “=” xảy ra Û a = b hoặc b = 0)

4. Công thức “căn phức tạp”

$\sqrt{A \pm B} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^{2} - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^{2} - B}}{2}}$

Trong đó A > 0; B > 0 và A² > B.

5. BĐT Cô-si (còn gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân)

Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì: $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$ (dấu “=” xảy ra Û a = b).

Vài dạng khác của bất đẳng thức Cô-si:

· Dạng có chứa dấu căn:

$a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ với a ≥ 0; b ≥ 0;

$\frac{1}{\sqrt{a b}} \geq \frac{2}{a + b}$ với a > 0; b > 0.

· Dạng không có chứa dấu căn:

$\frac{{(a + b)}^{2}}{2} \geq a b$ ; ${(a + b)}^{2} \geq 4 a b$ ; $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ ;

6. BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki (đối với hai bộ số)

· Mỗi bộ có hai số (a₁ ; a₂) và (b₁ ; b₂)

${(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2})}^{2} \leq (a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2})$ ;

· Mỗi bộ có ba số (a₁ ; a₂ ; a₃) và (b₁ ; b₂ ; b₃)

${(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3})}^{2} \leq (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2})$ ;

· Mỗi bộ có n số (a₁ ; a₂ ; …; a_n) và (b₁ ; b₂ ; …; b_n)

${(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n})}^{2} \leq (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + \dots + b_{n}^{2})$ ;

(dấu “=” xảy ra Û $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \dots = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0)

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: Thực hiện phép tính

Bài tập 1: Tính:

a) A = $\sqrt{3 + \sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}} . \sqrt{3 - \sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ ;

b) B = $\sqrt{4 + \sqrt{8}} . \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} . \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}$ .

Bài tập 2: Thực hiện phép tính:

a) $(\sqrt{12} + 3 \sqrt{15} - 4 \sqrt{135}) . \sqrt{3}$ ;	b) $\sqrt{252} - \sqrt{700} + \sqrt{1008} - \sqrt{448}$ ;
c) $2 \sqrt{40 \sqrt{12}} - 2 \sqrt{\sqrt{75}} - 3 \sqrt{5 \sqrt{48}}$ .

Bài tập 3: Thực hiện phép tính:

a) $(\sqrt{12} + \sqrt{75} + \sqrt{27}) : \sqrt{15}$ ;	c) $(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}} - \sqrt{\frac{16}{7}} + \sqrt{\frac{9}{7}}) : \sqrt{7}$ .
b) $(12 \sqrt{50} - 8 \sqrt{200} + 7 \sqrt{450}) : \sqrt{10}$ ;

Bài tập 4: Cho a = $\sqrt{\frac{3}{5}} + \sqrt{\frac{5}{3}}$ . Tính giá trị của biểu thức: M = $\sqrt{15 a^{2} - 8 a \sqrt{15} + 16}$ .

Bài tập 5: Tính:

\frac{\sqrt{99999}}{\sqrt{11111}}

;

\frac{\sqrt{84^{2} - 37^{2}}}{\sqrt{47}}

;

\sqrt{\frac{5 (38^{2} - 17^{2})}{8 (47^{2} - 19^{2})}}

;

\sqrt{\frac{0, 2 . 1, 21 . 0, 3}{7, 5 . 3, 2 . 0, 64}}

Bài tập 6: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng tích rồi tính:

a) $\sqrt{27^{2} - 23^{2}}$ ;	b) $\sqrt{37^{2} - 35^{2}}$ ;
c) $\sqrt{65^{2} - 63^{2}}$ ;	d) $\sqrt{117^{2} - 108^{2}}$ .

Bài tập 7: Cho hai số có tổng bằng $\sqrt{19}$ và có hiệu bằng $\sqrt{7}$ . Tính tích của hai số đó.

Bài tập 8: Tính $\sqrt{A}$ biết:

a) A = $13 - 2 \sqrt{42}$ ;	b) A = $46 + 6 \sqrt{5}$ ;
c) A = $12 - 3 \sqrt{15}$ .

Bài tập 9: Tính:

a) $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}} - \sqrt{2}$ ;	b) $\sqrt{4 - \sqrt{7}} - \sqrt{4 + \sqrt{7}} + \sqrt{7}$ ;
c) $\sqrt{6, 5 + \sqrt{12}} + \sqrt{6, 5 - \sqrt{12}} + 2 \sqrt{6}$ .

Bài tập 10: Thực hiện các phép tính:

a) $(4 + \sqrt{15}) (\sqrt{10} - \sqrt{6}) \sqrt{4 - \sqrt{15}}$ ;	c) $\frac{\sqrt{\sqrt{5} + 2} + \sqrt{\sqrt{5} - 2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 1}} - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .
b) $\sqrt{3 - \sqrt{5}} (\sqrt{10} - \sqrt{2}) (3 + \sqrt{5})$ ;

Bài tập 11: Biết x = $(\sqrt{10} - \sqrt{6}) . \sqrt{4 + \sqrt{15}}$ .

Tính giá trị của biểu thức: M = $\frac{\sqrt{4 x + 4 + \frac{1}{x}}}{\sqrt{x} | 2 x^{2} - x - 1 |}$

Bài tập 12: Tính:

a) Q = $(3 - \sqrt{5}) \sqrt{3 + \sqrt{5}} + (3 + \sqrt{5}) \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ;

b) R = $\sqrt{2 + \sqrt{3}} . \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} . \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} . \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}$ .

Bài tập 13: So sánh:

a) $3 + \sqrt{5}$ và $2 \sqrt{2} + \sqrt{6}$ ;	b) $2 \sqrt{3} + 4$ và $3 \sqrt{2} + \sqrt{10}$ ;
c) 18 và $\sqrt{15} . \sqrt{17}$ .

Bài tập 14^*:

a) Nêu một cách tính nhẩm 997²;

b) Tính tổng các chữ số của A, biết rằng $\sqrt{A}$ = 99…96 (có 100 chữ số 9).

DẠNG 2: Rút gọn biểu thức

Bài tập 15: Rút gọn biểu thức M = $\sqrt{4 + \sqrt{7}} - \sqrt{4 - \sqrt{7}}$ .

Bài tập 16: Rút gọn biểu thức:

a) $\sqrt{11 - 2 \sqrt{10}}$ ;	b) $\sqrt{9 - 2 \sqrt{14}}$ ;
c) $\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}$ ;	d) $\sqrt{9 - 4 \sqrt{5}} - \sqrt{9 + 4 \sqrt{5}}$ ;
e) $\sqrt{4 - \sqrt{7}} - \sqrt{4 + \sqrt{7}}$ ;	f) $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{11 + 6 \sqrt{2}} - \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}}{\sqrt{2} + \sqrt{6 + 2 \sqrt{5}} - \sqrt{7 + 2 \sqrt{10}}}$ ;
g) $\sqrt{5 \sqrt{3} + 5 \sqrt{48 - 10 \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}}$ ;
h) $\sqrt{4 + \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}} + \sqrt{4 - \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}$ ;	i) $\sqrt{94 - 42 \sqrt{5}} - \sqrt{94 + 42 \sqrt{5}}$ .

Bài tập 17: Rút gọn các biểu thức:

a) A = $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{14}}{2 \sqrt{3} + \sqrt{28}}$ ;	b) B = $\frac{9 \sqrt{5} + 3 \sqrt{27}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ;
c) C = $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6} + \sqrt{8} + 4}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4}}$ ;	d) D = $\frac{3 \sqrt{8} - 2 \sqrt{12} + \sqrt{20}}{3 \sqrt{18} - 2 \sqrt{27} + \sqrt{45}}$ .

Bài tập 18: Rút gọn biểu thức: M = $\frac{\sqrt{\sqrt{7} - \sqrt{3}} - \sqrt{\sqrt{7} + \sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt{7} - 2}}$ .

Bài tập 19: Rút gọn các biểu thức:

a) A = $\sqrt{6 + 2 \sqrt{2} . \sqrt{3 - \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}}}}$ ;	b) B = $\sqrt{5} - \sqrt{3 - \sqrt{29 - 12 \sqrt{5}}}$ ;
c) C = $\sqrt{3 - \sqrt{5}} . (\sqrt{10} - \sqrt{2}) (3 + \sqrt{5})$ .

Bài tập 20: Rút gọn biểu thức: A = $\sqrt{x + \sqrt{2 x - 1}} - \sqrt{x - \sqrt{2 x - 1}}$ .

Bài tập 21: Rút gọn biểu thức: P = $\sqrt{x + 2 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2 \sqrt{x - 1}}$ .

Bài tập 22: Rút gọn biểu thức: A = $\sqrt{x + 2 \sqrt{2 x - 4}} + \sqrt{x - 2 \sqrt{2 x - 4}}$ .

Bài tập 23: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

a) A = $\sqrt{\frac{{(x - 6)}^{4}}{{(5 - x)}^{2}}} - \frac{x^{2} - 36}{x - 5}$ (x < 5), tại x = 4;

b) B = $5 x - \sqrt{125} + \frac{\sqrt{x^{3} + 5 x^{2}}}{\sqrt{x + 5}}$ (x ≥ 0), tại x = $\sqrt{5}$ .

Bài tập 24: Rút gọn biểu thức:

a) A =

\frac{2}{x^{2} - y^{2}} . \sqrt{\frac{3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2}}{4}}

;

b) B =

\frac{1}{2 a - 1} . \sqrt{5 a^{4} (1 - 4 a + 4 a^{2})}

Bài tập 25: Cho a > 0, hãy so sánh $\sqrt{a + 1} + \sqrt{a + 3}$ với $2 \sqrt{a + 2}$ .

Bài tập 26: Rút gọn biểu thức:

M = $\frac{\sqrt{1 + \sqrt{1 - x^{2}}} [\sqrt{{(1 + x)}^{3}} - \sqrt{{(1 - x)}^{3}}]}{2 + \sqrt{1 - x^{2}}}$ .

Bài tập 27: Cho biểu thức: A = $\sqrt{\frac{{(x^{2} - 3)}^{2} + 12 x^{2}}{x^{2}}} + \sqrt{{(x + 2)}^{2} - 8 x}$ .

a) Rút gọn A;

b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của A là một số nguyên.

Bài tập 28: Cho biểu thức: A = $\frac{x + \sqrt{x^{2} - 2 x}}{x - \sqrt{x^{2} - 2 x}} - \frac{x - \sqrt{x^{2} - 2 x}}{x + \sqrt{x^{2} - 2 x}}$ .

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A;

b) Rút gọn biểu thức A;

c) Tìm giá trị của x để A < 2.

Bài tập 29: Lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên, trong đó:

a) $2 + \sqrt{3}$ là một nghiệm của phương trình;

b) $6 - 4 \sqrt{2}$ là một nghiệm của phương trình.

Bài tập 30^*:

a) Rút gọn biểu thức A = $\sqrt{1 + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}}}$ với a > 0;

b) Tính giá trị của tổng:

B = $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} + \dots + \sqrt{1 + \frac{1}{99^{2}} + \frac{1}{100^{2}}}$ .

DẠNG 3: Giải phương trình

Bài tập 31: Giải phương trình:

\sqrt{5 x^{2}} = 2 x + 1

;

\frac{\sqrt{2 x - 3}}{\sqrt{x - 1}} = 2

Bài tập 32: Giải phương trình:

a) $1 + \sqrt{3 x + 1} = 3 x$ ;	b) $\sqrt{2 + \sqrt{3 x - 5}} = \sqrt{x + 1}$ ;
c) $\sqrt{\frac{5 x + 7}{x + 3}} = 4$ ;	d) $\frac{\sqrt{5 x + 7}}{\sqrt{x + 3}} = 4$ .

Bài tập 33: Tìm x và y biết rằng x + y + 12 = $4 \sqrt{x} + 6 \sqrt{y - 1}$ .

Bài tập 34: Tìm x, y, z biết: $\sqrt{x - a} + \sqrt{y - b} + \sqrt{z - c} = \frac{1}{2} (x + y + z)$ trong đó a+b+c = 3.

Bài tập 35: Giải phương trình: $\sqrt{x + 3 - 4 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x + 8 + 6 \sqrt{x - 1}} = 5$ .

Bài tập 36: Giải phương trình: $\sqrt{x^{2} - 5 x + 6} + \sqrt{x + 1} = \sqrt{x - 2} + \sqrt{x^{2} - 2 x - 3}$ .

DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Bài tập 37: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = $\sqrt{x - 5} + \sqrt{13 - x}$ .

Bài tập 38:

a) Tìm GTLN của biểu thức A = $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 8}$ ;

b) Tìm GTNN của biểu thức B = $\sqrt{x - 3} + \sqrt{5 - x}$ .

Bài tập 39: Cho biểu thức: M = $\frac{x^{2} - \sqrt{2}}{x^{4} + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) x^{2} - \sqrt{6}}$

Rút gọn rồi tìm giá trị của x để M có giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.

DẠNG 5: Chứng minh biểu thức

Bài tập 40: Có tồn tại các số hữu tỉ dương a, b hay không nếu:

\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{2}

;

\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{\sqrt{2}}

Bài tập 41: Cho ba số x, y, $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số $\sqrt{x}$ , $\sqrt{y}$ đều là số hữu tỉ.

Bài tập 42: Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng tồn tại một số dương trong hai số $2 a + b - 2 \sqrt{c d}$ và $2 c + d - 2 \sqrt{a b}$ .

Bài tập 43:

a) Chứng minh rằng với a > 0 thì, b > 0 thì $\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}$ ;

b) So sánh $\sqrt{2017 + 2018}$ với $\sqrt{2017} + \sqrt{2018}$ .

Bài tập 44: Cho a, b, x, y > 0. Chứng minh rằng $\sqrt{a x} + \sqrt{b y} \leq \sqrt{(a + b) (x + y)}$ .

Bài tập 45: Cho a, b, c là các số thực không âm.

Chứng minh: $a + b + c \geq \sqrt{a b} + \sqrt{a c} + \sqrt{b c}$ .

Bài tập 46: Chứng minh bất đẳng thức: $\sqrt{n + a} + \sqrt{n - a} < 2 \sqrt{n}$ với 0 < |a| ≤ n.

Áp dụng (không dùng máy tính hoặc bảng số): chứng minh rằng: $\sqrt{101} - \sqrt{99} > 0, 1$ .

Bài tập 47: Cho A, B . Chứng minh rằng số 99999 + $11111 \sqrt{3}$ không thể biểu diễn dưới dạng ${(A + B \sqrt{3})}^{2}$ .

Bài tập 48: Cho A = $a \sqrt{a} + \sqrt{a b}$ và B = $b \sqrt{b} + \sqrt{a b}$ với a > 0, b > 0.

Chứng minh rằng nếu và đều là các số hữu tỉ thì A + B và A.B cũng là các số hữu tỉ.

Bài tập 49: Chứng minh các hằng đẳng thức sau với b ≥ 0, a ≥ $\sqrt{b}$ :

a) $\sqrt{a + \sqrt{b}} \pm \sqrt{a - \sqrt{b}} = \sqrt{2 (a \pm \sqrt{a^{2} - b})}$ ;

b) $\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^{2} - b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^{2} - b}}{2}}$ .

Bài tập 50: Chứng minh rằng: $2 (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) < \frac{1}{\sqrt{n}} < 2 (\sqrt{n} - \sqrt{n - 1})$ với n Î $N^{*}$ .

Áp dụng: cho S = $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{100}}$ . Chứng minh rằng 18 < S < 19.

Bài tập 51: Chứng minh rằng: $\frac{1}{2 \sqrt{n + 1}} < \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ với n Î $N$ .

Áp dụng chứng minh rằng: $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2500}} < 100$ .

Bài tập 52: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + xz = 1. Tính tổng:

S = $x \sqrt{\frac{(1 + y^{2}) (1 + z^{2})}{1 + x^{2}}} + y \sqrt{\frac{(1 + x^{2}) (1 + z^{2})}{1 + y^{2}}} + z \sqrt{\frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{1 + z^{2}}}$ .

Bài tập 53: Cho a, b, c là ba số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:

A = $\sqrt{\frac{1}{{(a - b)}^{2}} + \frac{1}{{(b - c)}^{2}} + \frac{1}{{(c - a)}^{2}}}$ là số hữu tỉ.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki.

Bài tập 54: Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng x + y + z ≥ $\sqrt{x y} + \sqrt{y z} + \sqrt{z x}$ .

Bài tập 55: Cho A = $\sqrt{x + 3} + \sqrt{5 - x}$ . Chứng minh rằng A ≤ 4.

Bài tập 56: Cho B = $\frac{x^{3}}{1 + y} + \frac{y^{3}}{1 + x}$ trong đó x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện xy = 1. Chứng minh rằng B ≥ 1.

Bài tập 57: Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1} + \frac{1}{z + 1} = 2$ .

Chứng minh rằng xyz ≤ $\frac{1}{8}$ .

Bài tập 58: Tìm các số dương x, y, z sao cho x + y + z = 3 và x⁴ + y⁴ + z⁴ = 3xyz.

Bài tập 59: Cho $\sqrt{x} + 2 \sqrt{y} = 10$ . Chứng minh rằng x + y ≥ 20.

Bài tập 60: Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh rằng:

A = $\sqrt{x + y} + \sqrt{y + z} + \sqrt{z + x} \leq \sqrt{6}$ .

Series Navigation<< Đại số 9 – Chuyên đề 1 – Căn bậc hai & Hằng đẳng thức (tiếp)Đại số 9 – Chuyên đề 2 – Nhân, chia căn thức bậc hai (tiếp) >>

Toán 6	Sách Toán 6
Toán 7	Sách Toán 7
Toán 8	Sách Toán 8
Toán 9	Sách Toán 9

Đại số 9 – Chuyên đề 2 – Nhân, chia căn thức bậc hai