Đề cương ôn tập HK1 môn Toán 8 THCS Lương Thế Vinh 2016-2017

Đề cương ôn tập học kì 1 môn Toán lớp 8 trường THCS Lương Thế Vinh, TP Hà Nội, năm học 2016-2017. Gồm 2 phần Đại số và Hình học.

Mỗi phần có bài tập tương ứng với các dạng toán.

I. ĐẠI SỐ

Dạng 1: Rút gọn biểu thức

Bài 1: Rút gọn biểu thức

a) $ 3x(4x-3)-(2x-1)(6x+5)$

b) $ 3x{{(x-1)}^{2}}-2x(x+3)(x-3)+4x(x-4)$

c) $ {{(x-1)}^{3}}-(x+2)({{x}^{2}}-2x+4)+3(x+4)(x-4)$

d) $ (x+1)({{x}^{2}}+x+1)(x-1)({{x}^{2}}-x+1)$

Bài 2: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:

a) $ A={{(x-1)}^{3}}-4x(1+x)(x-1)+3(x-1)({{x}^{2}}+x+1)$ tại $ x=-2$

b) $ B=2(2x+3y)(2x-3y)-{{(2x-1)}^{2}}-{{(3y-1)}^{2}}$ tại $ x=1;y=-1$

c) $ C={{x}^{2}}(x+1)-{{y}^{2}}(y-1)+xy-3xy(x-y+1)-95$ biết $ x-y=7$

Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 3:

1) $ {{x}^{2}}y+2{{x}^{2}}-9y-18$

2) $ 4{{x}^{2}}+2yz-{{z}^{2}}-{{y}^{2}}$

3) $ {{x}^{2}}-2x-4{{y}^{2}}-4y$

4) $ 8{{x}^{3}}-12x+6x-1$

5) $ {{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-4x-36$

6) $ {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}-8x+8$

7)  $ {{(x-y)}^{2}}+2(y-x)+1$

8) $ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy+2x+2y+1$

9) $ 81{{x}^{2}}-6yz-9{{y}^{2}}-{{z}^{2}}$

10) $ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}{{y}^{2}}+xy-x-y$

11) $ 3x(x-2y)+6y(2y-x)$

12)  $ {{x}^{4}}+1024$

13)  $ {{({{x}^{2}}+9)}^{2}}+8x({{x}^{2}}+9)+12{{x}^{2}}$

14) $ {{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}-{{z}^{2}}+2zt-{{t}^{2}}$

15)  $ 4{{a}^{2}}{{b}^{2}}-{{({{a}^{2}}+{{b}^{2}}-1)}^{2}}$

16) $ {{({{x}^{2}}+x)}^{2}}-2({{x}^{2}}+x)-15$

17)  $ (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-8$

18)  $ {{({{x}^{2}}+4x+8)}^{2}}+3x({{x}^{2}}+4x+8)+2{{x}^{2}}$

19)  $ {{(x-1996)}^{3}}+{{(x-1997)}^{2}}-1$

20) $ 4({{x}^{2}}+15x+50)({{x}^{2}}+18x+72)-3{{x}^{2}}$

Dạng 3: Tìm $ x$

Bài 4:

1) $ 3{{(x+2)}^{2}}+{{(2x-1)}^{2}}-7(x+3)(x-3)=36$

2) $ (x-1)({{x}^{2}}+x+1)+x(x+2)(2-x)=5$

3) $ {{(x-1)}^{3}}-(x+3)({{x}^{2}}-3x+9)+3({{x}^{2}}-4)=2$

4) $ (x+3)({{x}^{2}}-3x+9)-x(x-2)(x+2)=15$

5) $ {{(4-x)}^{2}}-{{(3x+2)}^{2}}=0$

6) $ {{(2x+1)}^{2}}-4{{(x+2)}^{2}}=9$

7) $ 8{{x}^{2}}+30x+7=0$

8)  $ {{x}^{2}}-2x-15$

9) $ 2{{x}^{2}}+3x-5=0$

10) $ {{({{x}^{2}}-4x)}^{2}}-8({{x}^{2}}-4x)+15=0$

Dạng 4: Phép chia đa thức

Bài 5: Sắp xếp các đa thức sau rồi làm phép chia

a) $ (3x+2{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}-2):(1-{{x}^{2}})$

b) $ (5{{x}^{4}}-1-3{{x}^{5}}):(x-{{x}^{2}}+1)$

Bài 6: Xác định $ m$ để $ A(x)\vdots B(x)$

a) $ A(x)=8{{x}^{2}}-26x+m$ $ B(x)=2x-3$
b) $ A(x)={{x}^{3}}-13x+m$ $ B(x)={{x}^{2}}+4x+3$

Bài 7: Tìm giá trị nguyên của $ x$ để:

a) $ (8{{x}^{2}}-4x+1)\vdots (2x+1)$

b) $ ({{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x-18)\vdots (x-2)$

c) $ ({{x}^{4}}-{{x}^{2}}-7)\vdots ({{x}^{2}}+1)$

d) $ ({{x}^{4}}-3{{x}^{2}})\vdots ({{x}^{2}}-x-1)$

Bài 8: Tìm $ a,b,c$ sao cho $ (2{{x}^{4}}+a{{x}^{2}}+bx+c)\vdots (x-2)$ và $ (2{{x}^{4}}+a{{x}^{2}}+bx+c)$ chia cho $ {{x}^{2}}-1$ dư $ 2x$

Dạng 5: Toán cực trị

Bài 9: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các biểu thức sau:

a) $ A=-4-{{x}^{2}}+6x$ f) $ F=(x-1)(x-3)+11$

b) $ B=3{{x}^{2}}-5x+7$ g) $ G={{(x-3)}^{2}}+{{(x-2)}^{2}}$

c) $ C=\left| {x-3} \right|(2-\left| {x-3} \right|)$ h) $ H=\frac{{2000}}{{{{x}^{2}}+2x+6}}$

d) $ D=(x-1)(x+5)({{x}^{2}}+4x+5)$ i) $ I=\frac{{15}}{{6x-{{x}^{2}}-14}}$

e) $ E=-{{x}^{2}}-4x-{{y}^{2}}+2y$ j) $ M=\frac{{8x+3}}{{4{{x}^{2}}+1}}$

Dạng 6: Phân thức đại số

Bài 10: Cho biểu thức $ E=\left( {\frac{x}{{x-1}}+\frac{{2x}}{{1-{{x}^{2}}}}-\frac{1}{{x+1}}} \right):(x-1)$

a) Rút gọn E

b) Tính giá trị biểu thức E tại $ x=\frac{{-1}}{3}$

c) Tìm giá trị của $ x$ để E nhận giá trị nguyên

Bài 11: Cho $ A=\left( {\frac{{{{x}^{2}}-3x}}{{{{x}^{2}}-9}}-1} \right):\left( {\frac{{9-{{x}^{2}}}}{{{{x}^{2}}+x-6}}-\frac{{x-3}}{{2-x}}-\frac{{x-2}}{{x+3}}} \right)$

a) Rút gọn A

b) Tính giá trị biểu thức A biết $ 2{{x}^{2}}=x$

c) Tìm $ x\in \mathbb{Z}$ để $ A\in \mathbb{Z}$

Bài 12: Cho $ G=\left( {\frac{1}{{{{x}^{2}}-x}}+\frac{1}{{1-{{x}^{2}}}}+\frac{{2{{x}^{2}}-3}}{{{{x}^{3}}-x}}} \right):\frac{{2{{x}^{2}}+2}}{{5x}}$

a) Rút gọn G

b) Tính giá trị của G biết $ x(x-2)=0$

c) Tìm giá trị nguyên của $ x$ để biểu thức G nhận giá trị nguyên

Bài 13: Cho biểu thức $ P=\frac{{x+1}}{{3x-{{x}^{2}}}}:\left( {\frac{{3+x}}{{3-x}}-\frac{{3-x}}{{3+x}}-\frac{{12{{x}^{2}}}}{{{{x}^{2}}-9}}} \right)$

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P khi $ \left| {2x-1} \right|=5$

Bài 14: Cho biểu thức $ P=\left( {\frac{{x+3}}{{x-2}}+\frac{{x+2}}{{3-x}}+\frac{{x+2}}{{{{x}^{2}}-5x+6}}} \right):\left( {1-\frac{{{{x}^{2}}-x}}{{{{x}^{2}}-1}}} \right)$

a) Rút gọn P

b) Tìm $ x\in \mathbb{Z}$ để $ P\in \mathbb{Z}$

Bài 15: Cho biểu thức $ M=\left( {\frac{x}{{x+5}}-\frac{5}{{5-x}}-\frac{{10x}}{{{{x}^{2}}-25}}} \right)\left( {1+\frac{5}{x}} \right)$

a) Rút gọn M

b) Tìm giá trị của $ x$ để $ M=\frac{1}{{20}}x+1$

c) Tìm số nguyên $ x$ để giá trị tương ứng của M là số nguyên

Bài 16: Cho biểu thức $ E=\frac{{x+2}}{{x+3}}-\frac{5}{{{{x}^{2}}+x-6}}+\frac{1}{{2-x}}$

a) Rút gọn E

b) Tìm $ x\in \mathbb{Z}$ để E là số nguyên âm

Bài 17: Cho biểu thức: $ P=\left( {\frac{{2+x}}{{2-x}}-\frac{{4{{x}^{2}}}}{{{{x}^{2}}-4}}-\frac{{2-x}}{{2+x}}} \right):\frac{{{{x}^{2}}-3x}}{{2{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}}:\frac{1}{{x-3}}$

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P tại $ x=-\frac{1}{2}$

c) Với giá trị nào của $ x$ thì $ P\ge 0$

Bài 18: Cho biểu thức $ A=\left( {\frac{{{{x}^{2}}}}{{{{x}^{3}}-4x}}+\frac{6}{{6-3x}}+\frac{1}{{x+2}}} \right):\left( {x-2+\frac{{10-{{x}^{2}}}}{{x+2}}} \right)$

a) Rút gọn A

b) Tính giá trị biểu thức A khi $ \left| x \right|=\frac{1}{2}$

c) Với giá trị nào của $ x$ thì A = 2

d) Tìm các giá trị nguyên của $ x$ để A có giá trị nguyên

Bài 19: Cho $ P=1+\frac{{x+3}}{{{{x}^{2}}+5x+6}}:\left( {\frac{{8{{x}^{2}}}}{{4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}}}-\frac{{3x}}{{3{{x}^{2}}-12}}-\frac{1}{{x+2}}} \right)$

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của $ x$ để $ P=0;P=1$

c) Tìm các giá trị của $ x$ để P > 0

B. HÌNH HỌC

Bài 20: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Trên OD lấy E, kẻ CF // AE $ (F\in BD)$

a) Chứng minh rằng: AFCE là hình bình hành

b) Cho AF cắt BC tại M, CE cắt AD tại N. Chứng minh: M, O, N thẳng hàng

c) Lấy K đối xứng với C qua E. Xác định vị trí của E trên OD để tứ giác AKDO là hình bình hành

d) Lấy I đối xứng với A qua D; lấy H đối xứng với A qua B. Tứ giác ABCD phải có thêm điều kiện gì để I đối xứng với H qua AC

Bài 21: Cho $ \Delta ABC$ vuông ở A. Kẻ $ AH\bot BC$. Gọi P, Q là các điểm đối xứng của H qua AB và AC

a) Chứng minh: P và Q đối xứng qua A

b) Cho HP cắt AB tại I, HQ cắt AC tại K. Gọi M, N là trung điểm của BH và CH. Chứng minh: tứ giác MNKI là hình thang vuông

c) Với điều kiện nào của $ \Delta ABC$ thì tứ giác MNKI là hình chữ nhật

d) Chứng minh: MI + NK không đổi khi BC cố định còn A di động sao cho $ \Delta ABC$ vuông ở A.

Bài 22: Cho hình thoi ABCD, gọi E là điểm đối xứng của A qua B và F là điểm đối xứng của C qua B.

a) Chứng minh: tứ giác ACEF là hình chữ nhật

b) Chứng minh: AF // BD

c) Cho DE cắt BC tại P, DF cắt AB tại Q. Chứng minh: AC = 2PQ

d) Hình thoi ABCD phải thêm điều kiện gì để ADCE là hình thang cân

e) Chứng minh rằng: nếu BD cố định, A và C di động sao cho ABCD vẫn là hình thoi thì P di động trên một đường thẳng cố định.

Bài 23: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là giao điểm của DM và CB.

a) Chứng minh: Tứ giác ANBD là hình bình hành.

b) Kẻ tia Cx // DN, Cx cắt AB tại P. Chứng minh: tứ giác MNPC là hình thoi

c) Tứ giác DNPC có là hình thang ? Hình thang cân không ? Vì sao ?

d) Cho MC cắt BD tại G. Tính $ {{S}_{{GCD}}}$ theo a

Bài 24: Cho hình vuông ABCD tâm O, I là điểm bất kì thuộc DC. Qua I kẻ đường thẳng // với AC cắt BD và AD lần lượt tại E và M. Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại F và cắt BC tại N.

a) Chứng minh: M, O, N thẳng hàng.

b) Chứng minh khi I di động trên CD thì chu vi tứ giác EOFI không đổi.

c) Từ M kẻ đường thẳng // BD. Từ N kẻ đường thẳng // AC chúng cắt nhau tại P. Chứng minh $ P\in AB$

d) Khi I di động trên CD thì trung điểm K của EF chuyển động trên đường nào?