Đề khảo sát CLB học sinh giỏi môn Toán 9 quận Hoàn Kiếm 2018-2019

Đề khảo sát câu lạc bộ học sinh giỏi môn Toán lớp 9 quận Hoàn Kiếm năm học 2018-2019. Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề).

Ngày khảo sát: 27/09/2018

Câu I (4,0 điểm).

a) Cho đa thức $f(x)$ biết rằng: Nếu $f(x)$ chia cho $x-2$ thì được số dư bằng 3, nếu $f(x)$ chia cho $x-3$ thì được số dư bằng 4. Hãy tìm dư của phép chia $f(x)$ cho $(x-2)(x-3).$

b) Viết số ${2019}^{2019}$ thành tổng các chữ số tự nhiên $a_1,a_2,\dots ,a_n.$ Hỏi tổng các lập phương của có chia hết cho 6 không? Vì sao?

Câu II (2,0 điểm). Cho biểu thức $P=\frac{2x^3-7x^2-12x+45}{3x^3-19x^2+33x-9}$ với $x$ là số thực.

a) Rút gọn P

b) Tìm $x$ để P > 0

Câu III (4,0 điểm).

a) Giải phương trình $x\left(\frac{3-x}{x+1}\right)\left(x+\frac{3-x}{x+1}\right)=2$ với $x$ là ẩn số thực

b) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+2abc=1$. Hãy tính giá trị của biểu thức: $P=a\sqrt{(1-b^2)(1-c^2)}+b\sqrt{(1-a^2)(1-c^2)}+c\sqrt{(1-b^2)(1-a^2)}-abc$

Câu IV (6,0 điểm).

Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại trực tâm H. Gọi M, N, P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc từ D xuống các cạnh AB, AC, BE, CF.

a) Chứng minh EF song song với MN.

b) Chứng minh MP + NQ = EF

c) Đường thẳng PQ cắt đoạn DE, DF lần lượt tại K, I và AD cắt EF, MN lần lượt tại G, O. Giả sử O là trung điểm của MN, khi đó tứ giác GIDK là hình gì?

Câu V (2,0 điểm)

Tìm các nghiệm nguyên $(x;y)$ của phương trình $2x^2+3y^2+4x=19$