Đề thi HSG môn Toán lớp 9 tỉnh Hải Dương năm học 2012-2013

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Hải Dương năm học 2012-2013. Thời gian làm bài 150 phút. Không kể thời gian giao đề.

Ngày thi 27/3/2013.

Câu 1 (2,0 điểm):

a) Rút gọn biểu thức:  $\mathrm{A}=(\sqrt{\mathrm{x}-\sqrt{50}}-\sqrt{\mathrm{x}+\sqrt{50}})\sqrt{\mathrm{x}+\sqrt{{\mathrm{x}}^2-50}}$ với $\mathrm{x}\ge \sqrt{50}$

b) Cho $\mathrm{x}+\sqrt{3}=2$. Tính giá trị của biểu thức: B = x⁵ – 3x⁴ – 3x³ + 6x² – 20x + 2018

Câu 2 (2,0 điểm):

a) Giải phương trình: $\frac{4\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+6}+\frac{3\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2-7\mathrm{x}+6}=6$

b) Giải hệ phương trình sau: ${\displaystyle \{\begin{array}{l}\sqrt{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{y}}+4\sqrt{\mathrm{xy}}=16\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=10\end{array}}$

Câu 3 (2,0 điểm):

a) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu $4{\mathrm{a}}^2+3\mathrm{ab}-11{\mathrm{b}}^2$ chia hết cho 5 thì $a^4-b^4$ chia hết cho 5.

b) Cho phương trình ${\displaystyle \text{a}{\text{x}}^{\text{2}}\text{+bx+1}=0}$ với a, b là các số hữu tỉ. Tìm a, b biết $\mathrm{x}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ là nghiệm của phương trình.

Câu 4 (3,0 điểm):

Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K.

a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.

c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME.

Câu 5 (1,0 điểm):

Cho ${\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{(2\mathrm{n}+1)\sqrt{2\mathrm{n}-1}}$ với n ∈ N*. Chứng minh rằng:

A₁ + A₂ + A₃ +…+ A_n < 1