Đề thi HSG Toán 7 giao lưu Olympic cấp huyện Kinh Môn 2018-2019

Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 7, giao lưu Olympic cấp huyện Kinh Môn, tỉnh Hải Dương năm học 2018-2019. Thời gian làm bài: 150 phút.

Câu 1: ( 2,0 điểm)

1) Tính  M = ${\displaystyle \frac{\frac{3}{4}-\frac{3}{11}+\frac{3}{13}}{\frac{5}{4}-\frac{5}{11}+\frac{5}{13}}+\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}{\frac{5}{4}-\frac{5}{6}+\frac{5}{8}}}$

2)  Tính  A=${\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2019}}$ ;  B =${\displaystyle \frac{1}{2018}+\frac{2}{2017}+\frac{3}{2016}+\dots +\frac{2017}{2}+\frac{2018}{1}}$.  Tính ${\displaystyle \frac{A}{B}}$

Câu 2: ( 2,0 điểm)

1)  Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn:   x + 2y = 3xy + 3

2)  CMR với n nguyên dương thì 3ⁿ⁺²  – 2ⁿ⁺²  + 3ⁿ  – 2ⁿ  chia hết cho 10.

Câu 3: ( 2,0 điểm )

1)  Cho các số dương a,b,c,d; c${\displaystyle \ne }$d và ${\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}}$. CMR${\displaystyle \frac{{\left(a^{2018}+b^{2018}\right)}^{2019}}{{\left(c^{2018}+d^{2018}\right)}^{2019}}=\frac{{\left(a^{2019}-b^{2019}\right)}^{2018}}{{\left(c^{2019}-d^{2019}\right)}^{2018}}}$

2)  Cho biết ${\displaystyle \left|3x-2y\right|+\left|5z-7x\right|+{(xy+yz+xz-500)}^{2018}=0}$.

Tính giá trị biểu thức     A = (3x – y – z)²⁰¹⁹

Câu 4: (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE,  K là giao của AB và DC.

1)  Chứng minh rằng: DC = BE.

2) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Tính số  đo góc BIK, góc AMN.

3)  Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE.

Câu 5 (1,0đ)

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

ab+bc+ca$\le$$a^2+b^2+c^2$< 2(ab+bc+ca)

—————————Hết———————