Đề thi vào 10 môn Toán THPT chuyên Bắc Ninh năm 2013

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán trường THPT chuyên tỉnh Bắc Ninh năm học 2013 – 2014.

Câu 1. (1,5 điểm)

a) Rút gọn biểu thức $A=(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}):\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}$ với $x\ge 0,x\ne 1$.

b) Cho $x=\frac{(\sqrt{3}-1).\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}}{\sqrt{21+4\sqrt{5}}+3}$, tính giá trị của biểu thức $P={(x^2+4x-2)}^{2013}.$

Câu 2. (2,0 điểm)

Cho phương trình: $2x^2-4mx+2m^2-1=0$ (1), với x là ẩn, m là tham số.

a) Chứng minh với mọi giá trị của m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là $x_1,x_2.$. Tìm m để ${\displaystyle 2{x_1}^2+4m{x}_2+2m^2-9<0.}$

Câu 3. (1,5 điểm)

a) Cho các số dương x, y thỏa mãn $x-y=x^3+y^3$. Chứng minh rằng $x^2+y^2<1.$

b) Giải hệ phương trình: ${\displaystyle \{\begin{array}{l}2x=y^2+1\\ 2y=z^2+1\\ 2z=x^2+1\end{array}.}$

Câu 4. (3,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O đường kính, điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho tam giác ABC nhọn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, F là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng:

a) Năm điểm A, O, M, N, F cùng nằm trên một đường tròn;

b) Ba điểm M, N, H thẳng hàng;

c) $HA.HF=R^2-O{H}^2.$

Câu 5. (2,0 điểm)

a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương $(x;y;z)$ thỏa mãn $\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}$ là số hữu tỷ, đồng thời $x^2+y^2+z^2$ là số nguyên tố.

b) Tính diện tích của ngũ giác lồi ABCDE, biết các tam giác ABC, BCD, CDE, DEA, EAB cùng có diện tích bằng 1.