Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi THCS môn Toán lớp 8

Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi trung học cơ sở môn Toán lớp 8 phòng giáo dục và đào tạo huyện Ý Yên, tỉnh Nam Định năm 2015-2016.

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1. (3 điểm)

1) Chứng minh : ${\displaystyle (x+y)(x^3-x^{2}y+x{y}^2-y^3)=x^4-y^4}$

2) Phân tích đa thức thành nhân tử : $x(x+2)(x^2+2x+2)+1$.

3) Tìm a, b, c biết : ${\displaystyle a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca}$ và $a^8+b^8+c^8=3$.

Bài 2. (4 điểm)  Cho biểu thức :

${\displaystyle \text{P}=\frac{2}{x}-(\frac{x^2}{x^2+xy}+\frac{y^2-x^2}{xy}-\frac{y^2}{xy+y^2}).\frac{x+y}{x^2+xy+y^2}}$ với x ≠ 0, y ≠ 0, x ≠ -y.

1) Rút gọn biểu thức P.

2) Tính giá trị của biểu thức P biết x, y thỏa mãn đẳng thức:

${\displaystyle x^2+y^2+10=2(x-3y)}$

Bài 3. (4 điểm)

1) Giải phương trình: $(6x+8)(6x+6){(6x+7)}^2=72$.

2) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: ${\displaystyle x^2+x+3=y^2}$ .

Bài 4. (2 điểm) Cho các số a, b, c thỏa mãn ${\displaystyle 1\ge a,b,c\ge 0}$. Chứng minh rằng :

a + b² + c³ – ab – bc – ca  ≤ 1.

Bài 5. (5,5 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt nhau tại O. Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho ${\displaystyle \widehat{IOM}={90}^0}$ (I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông). Gọi N là giao điểm của AM và CD, K là giao điểm của OM và BN.

1) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a.

2) Chứng minh $\widehat{BKM}=\widehat{BCO}$.

3) Chứng minh $\frac{\text{1}}{\text{C}{\text{D}}^{\text{2}}}\text{ = }\frac{\text{1}}{\text{A}{\text{M}}^{\text{2}}}\text{ + }\frac{\text{1}}{\text{A}{\text{N}}^{\text{2}}}\text{.}$

Bài 6. (1,5  điểm)

Cho tam giác ABC (AB < AC), trọng tâm G. Qua G vẽ đường thẳng d cắt các cạnh AB, AC thứ tự ở D và E. Tính giá trị biểu thức ${\displaystyle \frac{\text{AB}}{\text{AD}}\text{ + }\frac{\text{AC}}{\text{AE}}}$.