Đại số 9 – Chuyên đề 2 – Nhân, chia căn thức bậc hai (tiếp)

C – Hướng dẫn – trả lời – đáp số

DẠNG 1: Thực hiện phép tính.

Bài tập 1: Tính:

a) A = $ \displaystyle \sqrt{{(3+\sqrt{{5+2\sqrt{3}}})(3-\sqrt{{5+2\sqrt{3}}})}}=\sqrt{{{{3}^{2}}-{{{(\sqrt{{5+2\sqrt{3}}})}}^{2}}}}$

= $ \displaystyle \sqrt{{9-5-2\sqrt{3}}}=\sqrt{{4-2\sqrt{3}}}=\sqrt{{{{{(\sqrt{3}-1)}}^{2}}}}=\sqrt{3}-1$.

b) B = $ \displaystyle \sqrt{{4+\sqrt{4}.\sqrt{2}}}.\sqrt{{(2+\sqrt{{2+\sqrt{2}}})(2-\sqrt{{2+\sqrt{2}}})}}=\sqrt{{4+2\sqrt{2}}}.\sqrt{{{{2}^{2}}-{{{(\sqrt{{2+\sqrt{2}}})}}^{2}}}}$

= $ \displaystyle \sqrt{{2(2+\sqrt{2})}}.\sqrt{{2-\sqrt{2}}}=\sqrt{{2(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}}=\sqrt{{2.2}}=2$.

Bài tập 2: Thực hiện phép tính:

a) $ \displaystyle \sqrt{{36}}+3\sqrt{{9.5}}-4\sqrt{{{{9}^{2}}.5}}=6+9\sqrt{5}-36\sqrt{5}=6-27\sqrt{5}$;

b) $ \displaystyle \sqrt{{36.7}}-\sqrt{{100.7}}+\sqrt{{144.7}}-\sqrt{{64.7}}=\sqrt{7}.(\sqrt{{36}}-\sqrt{{100}}+\sqrt{{144}}-\sqrt{{64}})$

= $ \displaystyle \sqrt{7}.(6-10+12-8)=0$;

c) $ \displaystyle 2\sqrt{{40\sqrt{{12}}}}-2\sqrt{{5\sqrt{3}}}-3\sqrt{{20\sqrt{3}}}=2\sqrt{{80\sqrt{3}}}-2\sqrt{{5\sqrt{3}}}-6\sqrt{{5\sqrt{3}}}$

= $ \displaystyle 8\sqrt{{5\sqrt{3}}}-2\sqrt{{5\sqrt{3}}}-6\sqrt{{5\sqrt{3}}}=\sqrt{{5\sqrt{3}}}(8-2-6)=0$.

Bài tập 3: Thực hiện phép tính:

Bài tập 4:

Ta có: $ \displaystyle \sqrt{{\frac{3}{5}}}+\sqrt{{\frac{5}{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{5}}}+\frac{{\sqrt{5}}}{{\sqrt{3}}}=\frac{8}{{\sqrt{{15}}}}$.

Vậy M = $ \displaystyle \sqrt{{15{{{\left( {\frac{8}{{\sqrt{{15}}}}} \right)}}^{2}}-8.\frac{8}{{\sqrt{{15}}}}.\sqrt{{15}}+16}}=\sqrt{{{{8}^{2}}-{{8}^{2}}+16}}=\sqrt{{16}}=4$.

Bài tập 5: Tính:

a) $ \displaystyle \sqrt{{\frac{{99999}}{{11111}}}}=\sqrt{9}=3$.

b) $ \displaystyle \sqrt{{\frac{{{{{84}}^{2}}-{{{37}}^{2}}}}{{47}}}}=\sqrt{{\frac{{(84+37)(84-37)}}{{47}}}}=\sqrt{{\frac{{121.47}}{{47}}}}=\sqrt{{121}}=11$.

c) $ \displaystyle \sqrt{{\frac{{5({{{38}}^{2}}-{{{17}}^{2}})}}{{8({{{47}}^{2}}-{{{19}}^{2}})}}}}=\sqrt{{\frac{{5(38+17)(38-17)}}{{8(47+19)(47-19)}}}}=\sqrt{{\frac{{5\,\,.\,\,55\,\,.\,\,21}}{{8\,\,.\,\,66\,\,.\,\,28}}}}=\sqrt{{\frac{{25}}{{64}}}}=\frac{5}{8}$.

d) $ \displaystyle \sqrt{{\frac{{0,2\,\,.\,\,1,21\,\,.\,\,0,3}}{{7,5\,\,.\,\,3,2\,\,.\,\,0,64}}}}=\sqrt{{\frac{{2.121.3}}{{75.32.64}}}}=\sqrt{{\frac{{121}}{{25600}}}}=\frac{{11}}{{160}}$.

Bài tập 6: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng tích rồi tính:

a) $ \displaystyle \sqrt{{(27+23)(27-23)}}=\sqrt{{50.4}}=\sqrt{{{{{2.5}}^{2}}{{{.2}}^{2}}}}=10\sqrt{2}$;

b) $ \displaystyle \sqrt{{(37+35)(37-35)}}=\sqrt{{72.2}}=\sqrt{{144}}=12$;

c) $ \displaystyle \sqrt{{(65+63)(65-63)}}=\sqrt{{128.2}}=\sqrt{{256}}=16$;

d) $ \displaystyle \sqrt{{(117+108)(117-108)}}=\sqrt{{225.9}}=15.3=45$.

Bài tập 7: Tích của hai số là: $ \displaystyle \frac{{\sqrt{{19}}+\sqrt{7}}}{2}.\frac{{\sqrt{{19}}-\sqrt{7}}}{2}=\frac{{19-7}}{4}=3$.

Bài tập 8: Tính $ \displaystyle \sqrt{A}$ biết:

a) A = $ \displaystyle {{(\sqrt{7}-\sqrt{6})}^{2}}$; $ \displaystyle \sqrt{A}=\sqrt{7}-\sqrt{6}$;

b) A = $ \displaystyle {{(3\sqrt{5}+1)}^{2}}$; $ \displaystyle \sqrt{A}=3\sqrt{5}+1$;

c) 2A = $ \displaystyle 24-6\sqrt{{15}}={{(\sqrt{{15}}-3)}^{2}}$; $ \displaystyle \sqrt{A}=\frac{{\sqrt{{15}}-3}}{{\sqrt{2}}}$.

Bài tập 9: Tính:

a) $ \displaystyle \sqrt{{\frac{{6+2\sqrt{5}}}{2}}}-\sqrt{{\frac{{6-2\sqrt{5}}}{2}}}-\sqrt{2}=\frac{{\sqrt{{{{{(\sqrt{5}+1)}}^{2}}}}}}{{\sqrt{2}}}-\frac{{\sqrt{{{{{(\sqrt{5}-1)}}^{2}}}}}}{{\sqrt{2}}}-\sqrt{2}$

= $ \displaystyle \frac{{\sqrt{5}+1-\sqrt{5}+1}}{{\sqrt{2}}}-\sqrt{2}=\sqrt{2}-\sqrt{2}=0$;

b) Biến đổi tương tự câu a). Đáp số: $ \displaystyle \sqrt{7}-\sqrt{2}$;

c) Biến đổi tương tự câu a). Đáp số: $ \displaystyle 4\sqrt{6}$.

Bài tập 10: Thực hiện các phép tính:

a) Viết $ \displaystyle 4+\sqrt{{15}}$ thành $ \displaystyle \sqrt{{4+\sqrt{{15}}}}.\sqrt{{4+\sqrt{{15}}}}$ ta được:

$ \displaystyle \sqrt{{4+\sqrt{{15}}}}.\sqrt{{4+\sqrt{{15}}}}.\sqrt{{4-\sqrt{{15}}}}.(\sqrt{{10}}-\sqrt{6})$

= $ \displaystyle \sqrt{{4+\sqrt{{15}}}}.1.\sqrt{2}.(\sqrt{5}-\sqrt{3})$

= $ \displaystyle \sqrt{{8+2\sqrt{{15}}}}.(\sqrt{5}-\sqrt{3})=(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=2$.

b) Đáp số: 8.

c) Đặt $ \displaystyle \frac{{\sqrt{{\sqrt{5}+2}}+\sqrt{{\sqrt{5}-2}}}}{{\sqrt{{\sqrt{5}+1}}}}$ = m, $ \displaystyle \sqrt{{3-2\sqrt{2}}}$ = n.

Tính m² ta được m² = 2 nên m = $ \displaystyle \sqrt{2}$. Tính n ta được $ \displaystyle \sqrt{2}-1$. Đáp số: 1.

Bài tập 11:

M = $ \displaystyle \frac{{\sqrt{{{{{(2x+1)}}^{2}}}}}}{{\sqrt{x}.\sqrt{x}.\left| {2{{x}^{2}}-x-1} \right|}}=\frac{{2x+1}}{{x.\left| {2{{x}^{2}}-x-1} \right|}}$.

x = $ \displaystyle (\sqrt{{10}}-\sqrt{6}).\sqrt{{4+\sqrt{{15}}}}=\sqrt{2}.(\sqrt{5}-\sqrt{3}).\sqrt{{4+\sqrt{{15}}}}$

= $ \displaystyle (\sqrt{5}-\sqrt{3}).\sqrt{{8+2\sqrt{{15}}}}=(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})=2$.

Vậy M = $ \displaystyle \frac{{2.2+1}}{{2.\left| {{{{2.2}}^{2}}-2-1} \right|}}=\frac{5}{{2.\left| 5 \right|}}=\frac{1}{2}$.

Bài tập 12: Tính:

a)

Q = $ \displaystyle \sqrt{{3-\sqrt{5}}}.\sqrt{{3+\sqrt{5}}}.(\sqrt{{3-\sqrt{5}}}+\sqrt{{3+\sqrt{5}}})$

= $ \displaystyle \sqrt{{{{3}^{2}}-{{{(\sqrt{5})}}^{2}}}}.(\sqrt{{3-\sqrt{5}}}+\sqrt{{3+\sqrt{5}}})$

= $ \displaystyle 2.(\sqrt{{3-\sqrt{5}}}+\sqrt{{3+\sqrt{5}}})=\sqrt{2}.\sqrt{2}.(\sqrt{{3-\sqrt{5}}}+\sqrt{{3+\sqrt{5}}})$

= $ \displaystyle \sqrt{2}.(\sqrt{{3-\sqrt{5}}}.\sqrt{2}+\sqrt{{3+\sqrt{5}}}.\sqrt{2})=\sqrt{2}.(\sqrt{{6-2\sqrt{5}}}+\sqrt{{6+2\sqrt{5}}})$

= $ \displaystyle \sqrt{2}.(\sqrt{{{{{(\sqrt{5}-1)}}^{2}}}}+\sqrt{{{{{(\sqrt{5}+1)}}^{2}}}})=\sqrt{2}.(\sqrt{5}-1+\sqrt{5}+1)=2\sqrt{{10}}$;

b) R = $ \displaystyle \sqrt{{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{{2+\sqrt{{2+\sqrt{3}}}}}.\sqrt{{(2+\sqrt{{2+\sqrt{{2+\sqrt{3}}}}}).(2-\sqrt{{2+\sqrt{{2+\sqrt{3}}}}})}}$

= $ \displaystyle \sqrt{{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{{2+\sqrt{{2+\sqrt{3}}}}}.\sqrt{{4-(2+\sqrt{{2+\sqrt{3}}})}}$

= $ \displaystyle \sqrt{{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{{2+\sqrt{{2+\sqrt{3}}}}}.\sqrt{{2-\sqrt{{2+\sqrt{3}}}}}$

= $ \displaystyle \sqrt{{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{{(2+\sqrt{{2+\sqrt{3}}}).(2-\sqrt{{2+\sqrt{3}}})}}=\sqrt{{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{{4-(2+\sqrt{3})}}$

= $ \displaystyle \sqrt{{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{{2-\sqrt{3}}}=\sqrt{{4-3}}=\sqrt{1}=1$.

Bài tập 13: So sánh:

a) Ta có: $ \displaystyle {{(3+\sqrt{5})}^{2}}=9+5+6\sqrt{5}=14+\sqrt{{36}}.\sqrt{5}=14+\sqrt{{180}}$,

$ \displaystyle {{(2\sqrt{2}+\sqrt{6})}^{2}}=8+6+4\sqrt{{12}}=14+\sqrt{{16}}.\sqrt{{12}}=14+\sqrt{{192}}$.

Vì 180 < 192 nên $ \displaystyle 14+\sqrt{{180}}$ < $ \displaystyle 14+\sqrt{{192}}$ hay $ \displaystyle 3+\sqrt{5}$ < $ \displaystyle 2\sqrt{2}+\sqrt{6}$.

b) Tương tự câu a): $ \displaystyle 2\sqrt{3}+4$ > $ \displaystyle 3\sqrt{2}+\sqrt{{10}}$.

c) Cách 1: Ta có: 18² = 324,

$ \displaystyle {{(\sqrt{{15}}.\sqrt{{17}})}^{2}}=255$.

Vì 324 > 255 nên 18² > $ \displaystyle {{(\sqrt{{15}}.\sqrt{{17}})}^{2}}$ hay 18 > $ \displaystyle \sqrt{{15}}.\sqrt{{17}}$.

Cách 2: Ta có: $ \displaystyle \sqrt{{15}}.\sqrt{{17}}=\sqrt{{16-1}}.\sqrt{{16+1}}$

= $ \displaystyle \sqrt{{(16-1).(16+1)}}=\sqrt{{{{{16}}^{2}}-1}}<\sqrt{{{{{16}}^{2}}}}=16<18$.

Bài tập 14^*:

994. 997² = 997² – 3² + 3² = (997 – 3)(997 + 3) + 3² = 994.1000 + 9 = 994009.
995. $ \displaystyle A={{(\sqrt{A})}^{2}}-16+16=(\sqrt{A}-4)(\sqrt{A}+4)+16$

= $ \displaystyle \underbrace{{99…9}}_{{100\,\,chu\,so9}}2\,\,\,.\,\,\,1\underbrace{{00…0}}_{{101\,\,chu\,\,so\,\,0}}+16=\underbrace{{99…9}}_{{100\,\,chu\,\,so\,\,9}}2\underbrace{{00…0}}_{{99\,\,chu\,\,so\,\,0}}16$

Tổng các chữ số của A bằng: 900 + 2 + 1 + 6 = 909.

DẠNG 2: Rút gọn biểu thức

Bài tập 15:

• Cách 1:

Có:    $ \displaystyle 4+\sqrt{7}=\frac{{8+2\sqrt{7}}}{2}={{\left( {\frac{{\sqrt{7}+1}}{{\sqrt{2}}}} \right)}^{2}}$;          $ \displaystyle 4-\sqrt{7}=\frac{{8-2\sqrt{7}}}{2}={{\left( {\frac{{\sqrt{7}-1}}{{\sqrt{2}}}} \right)}^{2}}$

Do đó: M = $ \displaystyle \sqrt{{{{{\left( {\frac{{\sqrt{7}+1}}{{\sqrt{2}}}} \right)}}^{2}}}}-\sqrt{{{{{\left( {\frac{{\sqrt{7}-1}}{{\sqrt{2}}}} \right)}}^{2}}}}=\frac{{\sqrt{7}+1}}{{\sqrt{2}}}-\frac{{\sqrt{7}-1}}{{\sqrt{2}}}=\frac{2}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$.

• Cách 2:

Dễ thấy M > 0.

M² = $ \displaystyle {{(\sqrt{{4+\sqrt{7}}}-\sqrt{{4-\sqrt{7}}})}^{2}}=4+\sqrt{7}+4-\sqrt{7}-2\sqrt{{(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})}}$

= $ \displaystyle 8-2\sqrt{9}=2$.

Suy ra M = $ \displaystyle \sqrt{2}$. (Vì M > 0).

• Cách 3:

* Nhận xét: Với A = 4, B = 7 thì A² – B = 16 – 7 = 9 là một số chính phương nên ta nghĩ đến việc sử dụng công thức “căn phức tạp”.

$ \displaystyle \sqrt{{A\pm B}}=\sqrt{{\frac{{A+\sqrt{{{{A}^{2}}-B}}}}{2}}}\pm \sqrt{{\frac{{A-\sqrt{{{{A}^{2}}-B}}}}{2}}}$

* Trình bày lời giải:

M = $ \displaystyle \sqrt{{4+\sqrt{7}}}-\sqrt{{4-\sqrt{7}}}$

= $ \displaystyle \left( {\sqrt{{\frac{{4+\sqrt{{{{4}^{2}}-7}}}}{2}}}+\sqrt{{\frac{{4-\sqrt{{{{4}^{2}}-7}}}}{2}}}} \right)-\left( {\sqrt{{\frac{{4+\sqrt{{{{4}^{2}}-7}}}}{2}}}-\sqrt{{\frac{{4-\sqrt{{{{4}^{2}}-7}}}}{2}}}} \right)$

= $ \displaystyle \sqrt{{\frac{7}{2}}}+\sqrt{{\frac{1}{2}}}-\sqrt{{\frac{7}{2}}}+\sqrt{{\frac{1}{2}}}=2.\sqrt{{\frac{1}{2}}}=\sqrt{2}$.

Bài tập 16: Rút gọn biểu thức:

Bài tập 17: Rút gọn các biểu thức:

a) A = $ \displaystyle \frac{{\sqrt{2}.\sqrt{3}+\sqrt{2}.\sqrt{7}}}{{2\sqrt{3}+\sqrt{4}.\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{2}.(\sqrt{3}+\sqrt{7})}}{{2.(\sqrt{3}+\sqrt{7})}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$;

b) B = $ \displaystyle \frac{{9\sqrt{5}+9\sqrt{3}}}{{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}=\frac{{9.(\sqrt{5}+\sqrt{3})}}{{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}=9$;

c) C = $ \displaystyle \frac{{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4})+\sqrt{2}.(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4})}}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}}=\frac{{(1+\sqrt{2}).(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4})}}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}}$

= $ \displaystyle 1+\sqrt{2}$.

d) D = $ \displaystyle \frac{{3.2\sqrt{2}-2.2\sqrt{3}+2\sqrt{5}}}{{3.3\sqrt{2}-2.3\sqrt{3}+3\sqrt{5}}}=\frac{{2.(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{5})}}{{3.(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{5})}}=\frac{2}{3}$.

Bài tập 18: Tính M² = 2. Đáp số: $ \displaystyle -\sqrt{2}$. (Xem lại cách 2 bài tập 15)

Bài tập 19: Rút gọn các biểu thức:

a) A = $ \displaystyle \sqrt{{6+2\sqrt{2}.\sqrt{{3-(\sqrt{3}+1)}}}}=\sqrt{{6+2\sqrt{2}.\sqrt{{2-\sqrt{3}}}}}=\sqrt{{6+2\sqrt{{4-2\sqrt{3}}}}}$

= $ \displaystyle \sqrt{{6+2(\sqrt{3}-1)}}=\sqrt{{4+2\sqrt{3}}}=1+\sqrt{3}$;

b) B = 1;

c) C = 8.

Bài tập 20: Rút gọn biểu thức:

ĐKXĐ: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x-1\ge 0\\x\ge \sqrt{{2x-1}}\end{array} \right.\Leftrightarrow x\ge \frac{1}{2}$

* Cách 1:

$ \displaystyle A\sqrt{2}=\sqrt{{2x+2\sqrt{{2x-1}}}}-\sqrt{{2x-2\sqrt{{2x-1}}}}$

= $ \displaystyle \sqrt{{2x-1+2\sqrt{{2x-1}}+1}}-\sqrt{{2x-1-2\sqrt{{2x-1}}+1}}$

= $ \displaystyle \sqrt{{{{{(\sqrt{{2x-1}}+1)}}^{2}}}}-\sqrt{{{{{(\sqrt{{2x-1}}-1)}}^{2}}}}$

= $ \displaystyle \sqrt{{2x-1}}+1-\left| {\sqrt{{2x-1}}-1} \right|$

TH1: Nếu $ \displaystyle \frac{1}{2}\le x<1$ thì $ \displaystyle A\sqrt{2}=\sqrt{{2x-1}}+1-(1-\sqrt{{2x-1}})=2\sqrt{{2x-1}}$.

Do đó: A = $ \displaystyle \frac{{2\sqrt{{2x-1}}}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{{4x-2}}$

TH2: Nếu x ≥ 1 thì $ \displaystyle A\sqrt{2}=\sqrt{{2x-1}}+1-(\sqrt{{2x-1}}-1)=2$

Do đó: A = $ \displaystyle \sqrt{2}$.

* Cách 2:

Đặt $ \displaystyle \sqrt{{2x-1}}$ = y ≥ 0, ta có 2x – 1 = y².

A = $ \displaystyle \frac{{\sqrt{{2x+2\sqrt{{2x-1}}}}}}{{\sqrt{2}}}-\frac{{\sqrt{{2x-2\sqrt{{2x-1}}}}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{{{{y}^{2}}+2y+1}}}}{{\sqrt{2}}}-\frac{{\sqrt{{{{y}^{2}}-2y+1}}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{y+1}}{{\sqrt{2}}}-\frac{{\left| {y-1} \right|}}{{\sqrt{2}}}$

TH1: Với 0 ≤ y < 1 (tức là $ \displaystyle \frac{1}{2}\le x<1$) thì: A = $ \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{2}}}\left( {y+1+y-1} \right)=\frac{{2y}}{{\sqrt{2}}}=y\sqrt{2}=\sqrt{{4x-2}}$

TH2: Với y ≥ 1 (tức là x ≥ 1) thì: A = $ \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{2}}}\left( {y+1-y+1} \right)=\sqrt{2}$

* Cách 3: Xét A² ta có:

A² = $ \displaystyle (x+\sqrt{{2x-1}})+(x-\sqrt{{2x-1}})-2\left( {\sqrt{{(x+\sqrt{{2x-1}})(x-\sqrt{{2x-1}})}}} \right)$

= $ \displaystyle 2x-2\sqrt{{{{x}^{2}}-2x+1}}=2x-2\left| {x-1} \right|$.

TH1: Với $ \displaystyle \frac{1}{2}\le x<1$ thì A² = 2x – 2(1 – x) = 4x – 2, do đó A = $ \displaystyle \sqrt{{4x-2}}$.

TH2: Với x ≥ 1 thì A² = 2, do đó A = $ \displaystyle \sqrt{2}$ (chú ý rằng A ≥ 0).

Bài tập 21: Rút gọn biểu thức:

ĐKXĐ: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x-1\ge 0\\x\ge 2\sqrt{{x-1}}\end{array} \right.\Leftrightarrow x\ge 1$

P = $ \displaystyle \sqrt{{{{{(\sqrt{{x-1}}+1)}}^{2}}}}+\sqrt{{{{{(\sqrt{{x-1}}-1)}}^{2}}}}=\sqrt{{x-1}}+1+\left| {\sqrt{{x-1}}-1} \right|$

TH1: Nếu 1 ≤ x ≤ 2 thì P = $ \displaystyle \sqrt{{x-1}}+1+1-\sqrt{{x-1}}=2$

TH2: Nếu x > 2 thì P = $ \displaystyle 2\sqrt{{x-1}}$.

Bài tập 22: Nếu 2 ≤ x < 4 thì A = $ \displaystyle 2\sqrt{2}$. Nếu x ≥ 4 thì A = $ \displaystyle 2\sqrt{{x-2}}$.

Bài tập 23:

a) A = $ \displaystyle \frac{{{{{(x-6)}}^{2}}}}{{\left| {5-x} \right|}}-\frac{{{{x}^{2}}-36}}{{x-5}}$.

Do x < 5 nên 5 – x = 5 – x. Ta có:

A = $ \displaystyle \frac{{{{{(x-6)}}^{2}}}}{{5-x}}-\frac{{{{x}^{2}}-36}}{{x-5}}=\frac{{{{x}^{2}}-12x+36+{{x}^{2}}-36}}{{5-x}}=\frac{{2{{x}^{2}}-12x}}{{5-x}}$.

Tại x = 4 thì A = $ \displaystyle \frac{{{{{2.4}}^{2}}-12.4}}{{5-4}}=-16$

b) Với x ≥ 0 thì $ \displaystyle \sqrt{{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}}$ và $ \displaystyle \sqrt{{x+5}}$ có nghĩa. Giá trị của biểu thức B xác định. Ta có:

B = $ \displaystyle 5x-\sqrt{{125}}+\frac{{\sqrt{{{{x}^{2}}}}.\sqrt{{x+5}}}}{{\sqrt{{x+5}}}}=5x-\sqrt{{125}}+\left| x \right|=6x-5\sqrt{5}$ (vì x ≥ 0).

Tại x = $ \displaystyle \sqrt{5}$ thì B = $ \displaystyle 6.\sqrt{5}-5\sqrt{5}=\sqrt{5}$.

Bài tập 24: Rút gọn biểu thức:

a) ĐK: $ \displaystyle x\ne \pm y$. A = $ \displaystyle \frac{2}{{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}.\frac{{\sqrt{3}.\left| {x+y} \right|}}{2}=\frac{{2\sqrt{3}\left| {x+y} \right|}}{{2(x-y)(x+y)}}=\frac{{\sqrt{3}\left| {x+y} \right|}}{{(x-y)(x+y)}}$

TH1: Nếu x > – y thì x + y > 0, ta có A = $ \displaystyle \frac{{\sqrt{3}(x+y)}}{{(x-y)(x+y)}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{x-y}}$

TH1: Nếu x < – y thì x + y < 0, ta có A = $ \displaystyle \frac{{-\sqrt{3}(x+y)}}{{(x-y)(x+y)}}=\frac{{-\sqrt{3}}}{{x-y}}$

b) ĐK: $ \displaystyle a\ne \frac{1}{2}$. B = $ \displaystyle \frac{{{{a}^{2}}\sqrt{5}.\left| {1-2a} \right|}}{{2a-1}}$

TH1: Nếu $ \displaystyle a<\frac{1}{2}$ thì 1 – 2a > 0, ta có B = $ \displaystyle -{{a}^{2}}\sqrt{5}$.

TH1: Nếu $ \displaystyle a>\frac{1}{2}$ thì 1 – 2a < 0, ta có B = $ \displaystyle {{a}^{2}}\sqrt{5}$.

Bài tập 25:

Đặt A = $ \displaystyle \sqrt{{a+1}}+\sqrt{{a+3}}$ > 0;

B = $ \displaystyle 2\sqrt{{a+2}}$ > 0.

Ta có: $ \displaystyle {{A}^{2}}=2a+4+2\sqrt{{(a+1)(a+3)}}$

$ \displaystyle {{A}^{2}}=2(a+2)+2\sqrt{{(a+2-1)(a+2+1)}}$

$ \displaystyle {{A}^{2}}=2(a+2)+2\sqrt{{{{{(a+2)}}^{2}}-1}}$

$ \displaystyle {{A}^{2}}<2(a+2)+2\sqrt{{{{{(a+2)}}^{2}}}}=4(a+2)$ (vì a > 0)

B = 4(a + 2).

Suy ra A² < B² ⇔ A < B (vì A > 0; B > 0).

Bài tập 26: Rút gọn biểu thức:

ĐKXĐ: –1 ≤ x ≤ 1.

Áp dụng công thức “căn phức tạp” ta tính được:

$ \displaystyle \sqrt{{1+\sqrt{{1-{{x}^{2}}}}}}=\sqrt{{\frac{{1+\sqrt{{1-1+{{x}^{2}}}}}}{2}}}+\sqrt{{\frac{{1-\sqrt{{1-1+{{x}^{2}}}}}}{2}}}$

= $ \displaystyle \sqrt{{\frac{{1+\left| x \right|}}{2}}}+\sqrt{{\frac{{1-\left| x \right|}}{2}}}$

= $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt{2}}}\left( {\sqrt{{1+x}}+\sqrt{{1-x}}} \right),\,\,\,n\tilde{O}u\,x\ge 0\\\frac{1}{{\sqrt{2}}}\left( {\sqrt{{1-x}}+\sqrt{{1+x}}} \right),\,\,\,n\tilde{O}u\,x<0\end{array} \right.$

Cả hai trường hợp đều có cùng một kết quả.

$ \displaystyle \sqrt{{{{{(1+x)}}^{3}}}}-\sqrt{{{{{(1-x)}}^{3}}}}=\left( {\sqrt{{1+x}}-\sqrt{{1-x}}} \right)\left[ {(1+x)+\sqrt{{1-{{x}^{2}}}}+(1-x)} \right]$

= $ \displaystyle \left( {\sqrt{{1+x}}-\sqrt{{1-x}}} \right)\left( {2+\sqrt{{1-{{x}^{2}}}}} \right)$.

Vậy M = $ \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{2}}}\frac{{(\sqrt{{1+x}}+\sqrt{{1-x}})(\sqrt{{1+x}}-\sqrt{{1-x}})(2+\sqrt{{1-{{x}^{2}}}})}}{{2+\sqrt{{1-{{x}^{2}}}}}}$

M = $ \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{2}}}\left[ {(1+x)-(1-x)} \right]=\sqrt{2}x$.

Bài tập 27:

a) A = $ \displaystyle \sqrt{{\frac{{{{{({{x}^{2}}+3)}}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}}}+\sqrt{{{{{(x-2)}}^{2}}}}=\frac{{{{x}^{2}}+3}}{{\left| x \right|}}+\left| {x-2} \right|$

TH1: Nếu x < 0 thì A = $ \displaystyle \frac{{-{{x}^{2}}-3}}{x}+2-x=\frac{{-{{x}^{2}}-3+2x-{{x}^{2}}}}{x}=\frac{{-2{{x}^{2}}+2x-3}}{x}$

TH2: Nếu 0 < x ≤ 2 thì A = $ \displaystyle \frac{{{{x}^{2}}+3}}{x}+2-x=\frac{{{{x}^{2}}+3+2x-{{x}^{2}}}}{x}=\frac{{2x+3}}{x}$

TH3: Nếu x > 2 thì A = $ \displaystyle \frac{{{{x}^{2}}+3}}{x}+x-2=\frac{{{{x}^{2}}+3+{{x}^{2}}-2x}}{x}=\frac{{2{{x}^{2}}-2x+3}}{x}$

b) Với x ∈ $ \displaystyle \mathbb{Z}$ thì |x – 2| Î $ \displaystyle \mathbb{Z}$, do đó để A Î $ \displaystyle \mathbb{Z}$ thì $ \displaystyle {{x}^{2}}+3\,\,\vdots \,\,\left| x \right|$ hay $ \displaystyle 3\,\,\vdots \,\,\left| x \right|$. Suy ra x = ±1; x = ±3.

Bài tập 28:

a) ĐK: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-2x\ge 0\\x\ne \pm \sqrt{{{{x}^{2}}-2x}}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x(x-2)\ge 0\\{{x}^{2}}\ne {{x}^{2}}-2x\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x\ge 2\\x<0\end{array} \right.$.

b) A = $ \displaystyle 2\sqrt{{{{x}^{2}}-2x}}$ với điều kiện trên.

c) Giải A < 2 ta được: $ \displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}-2x}}<1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x<1\Leftrightarrow {{(x-1)}^{2}}<2$

$ \displaystyle \Leftrightarrow -\sqrt{2}<x-1<\sqrt{2}\Leftrightarrow 1-\sqrt{2}<x<1+\sqrt{2}$.

Kết hợp với điều kiện nêu ở câu a), các giá trị phải tìm của x là:

$ \displaystyle 1-\sqrt{2}<x<0$ và $ \displaystyle 2\le x<1+\sqrt{2}$.

Bài tập 29:

a) Đặt x = $ \displaystyle 2+\sqrt{3}$. Ta có $ \displaystyle {{x}^{2}}=7+4\sqrt{3}\Rightarrow {{x}^{2}}=7+4(x-2)\Rightarrow {{x}^{2}}=4x-1$.

Phương trình $ \displaystyle {{x}^{2}}-4x+1=0$ nhận $ \displaystyle 2+\sqrt{3}$ là một nghiệm.

b) Phương trình $ \displaystyle {{x}^{2}}-12x+4=0$ nhận $ \displaystyle 6-4\sqrt{2}$ là một nghiệm.

Chú ý: Phương trình $ \displaystyle {{x}^{2}}-4x+1=0$ còn có nghiệm là $ \displaystyle 2-\sqrt{3}$.

Phương trình $ \displaystyle {{x}^{2}}-12x+4=0$ còn có nghiệm là $ \displaystyle 6+4\sqrt{2}$.

Bài tập 30^*:

a) A² = $ \displaystyle 1+\frac{1}{{{{a}^{2}}}}+\frac{1}{{{{{(a+1)}}^{2}}}}=\frac{{{{a}^{2}}{{{(a+1)}}^{2}}+{{{(a+1)}}^{2}}+{{a}^{2}}}}{{{{a}^{2}}{{{(a+1)}}^{2}}}}$

= $ \displaystyle \frac{{{{a}^{2}}({{a}^{2}}+2a+1+1)+{{{(a+1)}}^{2}}}}{{{{a}^{2}}{{{(a+1)}}^{2}}}}=\frac{{{{a}^{4}}+2{{a}^{2}}(a+1)+{{{(a+1)}}^{2}}}}{{{{a}^{2}}{{{(a+1)}}^{2}}}}=$

= $ \displaystyle \frac{{{{{({{a}^{2}}+a+1)}}^{2}}}}{{{{a}^{2}}{{{(a+1)}}^{2}}}}={{\left[ {\frac{{{{a}^{2}}+a+1}}{{a(a+1)}}} \right]}^{2}}$.

Do a > 0 nên A > 0 và A = $ \displaystyle \frac{{{{a}^{2}}+a+1}}{{a(a+1)}}$.

b) Từ câu a) suy ra: $ \displaystyle \sqrt{{1+\frac{1}{{{{a}^{2}}}}+\frac{1}{{{{{(a+1)}}^{2}}}}}}=\frac{{{{a}^{2}}+a+1}}{{a(a+1)}}=1+\frac{1}{{a(a+1)}}=1+\frac{1}{a}-\frac{1}{{a+1}}$

Do đó: B = $ \displaystyle \left( {1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}} \right)+\left( {1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}} \right)+\left( {1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}} \right)+…+\left( {1+\frac{1}{{99}}-\frac{1}{{100}}} \right)$

= 99 + $ \displaystyle \left( {\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{99}}-\frac{1}{{100}}} \right)=100-\frac{1}{{100}}=99,99$

DẠNG 3: Giải phương trình

Bài tập 31: Giải phương trình:

a) Điều kiện xác định của phương trình là: $ \displaystyle x\ge -\frac{1}{2}$

$ \displaystyle \sqrt{{5{{x}^{2}}}}=2x+1$

Suy ra $ \displaystyle 5{{x}^{2}}={{(2x+1)}^{2}}$

$ \displaystyle \Leftrightarrow 5{{x}^{2}}=4{{x}^{2}}+4x+1$

$ \displaystyle \Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-1=0$

$ \displaystyle \Leftrightarrow ({{x}^{2}}-4x+4)-5=0$

$ \displaystyle \Leftrightarrow {{(x-2)}^{2}}-{{(\sqrt{5})}^{2}}=0$

$ \displaystyle \Leftrightarrow (x-2+\sqrt{5})(x-2-\sqrt{5})=0$

$ \displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x-2+\sqrt{5}=0\\x-2-\sqrt{5}=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=2-\sqrt{5}\\x=2+\sqrt{5}\end{array} \right.$

Vì x = $ \displaystyle 2-\sqrt{5}$ không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = $ \displaystyle 2+\sqrt{5}$.

b) Điều kiện xác định của phương trình là: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x-3\ge 0\\x-1>0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 1,5\\x>1\end{array} \right.\Leftrightarrow x\ge 1,5$

Khi đó phương trình được đưa về dạng:

$ \displaystyle \frac{{\sqrt{{2x-3}}}}{{\sqrt{{x-1}}}}=2$

Suy ra: $ \displaystyle \frac{{2x-3}}{{x-1}}={{2}^{2}}$

Hay      2x – 3 = 4(x – 1)

$ \displaystyle \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x=1\,\,\,\Leftrightarrow x=0,5$ không thỏa mãn điều kiện x ≥ 1,5.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài tập 32: Giải phương trình:

a) Điều kiện xác định của phương trình là $ \displaystyle x\ge \frac{1}{3}$

Biến đổi phương trình về dạng:

$ \displaystyle 3x+1={{(3x-1)}^{2}}$

$ \displaystyle \Leftrightarrow 9x(x-1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=1\end{array} \right.$

Phương trình đã cho có nghiệm x = 1.

b) Điều kiện xác định của phương trình là: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}3x-5\ge 0\\x+1\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge \frac{5}{3}\\x\ge -1\end{array} \right.\Leftrightarrow x\ge \frac{5}{3}$

Phương trình được đưa về dạng;

$ \displaystyle \begin{array}{l}2+\sqrt{{3x-5}}=x+1\\\Leftrightarrow \sqrt{{3x-5}}=x-1\\\Leftrightarrow 3x-5={{x}^{2}}-2x+1\\\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+6=0\end{array}$

$ \displaystyle \Leftrightarrow (x-3)(x-2)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x-3=0\\x-2=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=3\\x=2\end{array} \right.$, thỏa mãn điều kiện xác định.

Phương trình đã cho có nghiệm x = 2, x = 3.

c) Điều kiện xác định của phương trình là:

$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}5x+7\ge 0\\x+3>0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge -\frac{7}{5}\\x>-3\end{array} \right.\Leftrightarrow x\ge -\frac{7}{5}$

hoặc $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}5x+7\le 0\\x+3<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\le -\frac{7}{5}\\x<-3\end{array} \right.\Leftrightarrow x<-3$

Phương tình được đưa về dạng: $ \displaystyle \frac{{5x+7}}{{x+3}}={{4}^{2}}$

Giải phương trình này được $ \displaystyle x=-\frac{{41}}{{11}}$ thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ \displaystyle x=-\frac{{41}}{{11}}$.

d) Điều kiện xác định của phương trình là:

$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}5x+7\ge 0\\x+3>0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge -\frac{7}{5}\\x>-3\end{array} \right.\Leftrightarrow x\ge -\frac{7}{5}$

Khi đó phương tình đưa về dạng: $ \displaystyle \sqrt{{\frac{{5x+7}}{{x+3}}}}=4$.

Theo câu c), ta có $ \displaystyle x=-\frac{{41}}{{11}}$, nhưng không thỏa mãn điều kiện $ \displaystyle x\ge -\frac{7}{5}$. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài tập 33: ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 1.

$ \displaystyle {{\left( {\sqrt{x}-2} \right)}^{2}}+{{\left( {\sqrt{{y-1}}-3} \right)}^{2}}=0$;

Đáp số: x = 4; y = 10.

Bài tập 34: ĐKXĐ: x ≥ a; y ≥ b; z ≥ c.

$ \displaystyle \begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sqrt{{x-a}}+\sqrt{{y-b}}+\sqrt{{z-c}}=\frac{1}{2}\left( {x+y+z} \right)\\\Leftrightarrow x+y+z=2\left( {\sqrt{{x-a}}+\sqrt{{y-b}}+\sqrt{{z-c}}} \right)\\\Leftrightarrow x+y+z-2\sqrt{{x-a}}-2\sqrt{{y-b}}-2\sqrt{{z-c}}=0\\\Leftrightarrow x+y+z-(a+b+c)-2\sqrt{{x-a}}-2\sqrt{{y-b}}-2\sqrt{{z-c}}+3=0\\\Leftrightarrow \left( {x-a-2\sqrt{{x-a}}+1} \right)+\left( {y-b-2\sqrt{{y-b}}+1} \right)+\left( {z-c-2\sqrt{{z-c}}+1} \right)=0\\\Leftrightarrow {{(\sqrt{{x-a}}-1)}^{2}}+{{(\sqrt{{y-b}}-1)}^{2}}+{{(\sqrt{{z-c}}-1)}^{2}}=0\end{array}$

Đáp số: x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1.

Bài tập 35: ĐKXĐ: x ≥ 1.

$ \displaystyle \begin{array}{l}\sqrt{{{{{(\sqrt{{x-1}}-2)}}^{2}}}}+\sqrt{{{{{(\sqrt{{x-1}}+3)}}^{2}}}}=5\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left| {\sqrt{{x-1}}-2} \right|+\sqrt{{x-1}}+3=5\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left| {\sqrt{{x-1}}-2} \right|=2-\sqrt{{x-1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2-\sqrt{{x-1}}\ge 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt{{x-1}}\le 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\le 5\end{array}$

Kết hợp với ĐKXĐ ta được $ \displaystyle 1\le x\le 5$.

Bài tập 36: $ \displaystyle \sqrt{{(x-2)(x-3)}}+\sqrt{{x+1}}=\sqrt{{x-2}}+\sqrt{{(x+1)(x-3)}}$

ĐKXĐ: x ≥ 3.

$ \displaystyle \begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt{{(x-2)(x-3)}}+\sqrt{{x+1}}=\sqrt{{x-2}}+\sqrt{{(x+1)(x-3)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt{{(x-2)(x-3)}}-\sqrt{{(x+1)(x-3)}}=\sqrt{{x-2}}-\sqrt{{x+1}}\\\sqrt{{x-3}}(\sqrt{{x-2}}-\sqrt{{x+1}})-(\sqrt{{x-2}}-\sqrt{{x+1}})=0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\sqrt{{x-3}}-1)(\sqrt{{x-2}}-\sqrt{{x+1}})=0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=4\end{array}$

DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Bài tập 37: ĐKXĐ: 5 ≤ x ≤ 13

* Cách thứ nhất: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si: $ \displaystyle a+b\ge 2\sqrt{{ab}}$

P² = $ \displaystyle x-5+13-x+2\sqrt{{(x-5)(13-x)}}$

P² ≤ 8 + [(x – 5) + (13 – x)] = 16. (Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x – 5 = 13 – x ⇔ x = 9).

Suy ra max P² = 16, do đó max P = 4 (khi và chỉ khi x = 9).

* Cách thứ hai: Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki:

$ \displaystyle {{({{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}})}^{2}}\le (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})$

Với a₁ = a₂ = 1; b₁ = $ \displaystyle \sqrt{{x-5}}$; b₂ = $ \displaystyle \sqrt{{13-x}}$.

P² = $ \displaystyle {{(1.\sqrt{{x-5}}+1.\sqrt{{13-x}})}^{2}}\le ({{1}^{2}}+{{1}^{2}})\left[ {{{{(\sqrt{{x-5}})}}^{2}}+{{{(\sqrt{{13-x}})}}^{2}}} \right]$

hay P² ≤ 2 . 8 = 16 (dấu “=” xảy ra ⇔ $ \displaystyle \frac{{x-5}}{1}=\frac{{13-x}}{1}\Leftrightarrow x=9$).

Suy ra max P² = 16, do đó max P = 4 (khi và chỉ khi x = 9).

Bài tập 38:

a) Áp dụng bất đẳng thức $ \displaystyle \sqrt{a}-\sqrt{b}\le \sqrt{{a-b}}$ (với a ≥ b ≥ 0) (Xem lại phần Bổ sung 3.)

A = $ \displaystyle \sqrt{{x+1}}-\sqrt{{x-8}}\le \sqrt{{(x+1)-(x-8)}}=\sqrt{9}=3$ (dấu “=” xảy ra ⇔ x = 8)

Suy ra max A = 3 (khi và chỉ khi x = 8).

b) Áp dụng bất đẳng thức $ \displaystyle \sqrt{a}+\sqrt{b}\ge \sqrt{{a+b}}$ (với a, b ≥ 0) (Xem lại phần Bổ sung 2.)

B = $ \displaystyle \sqrt{{x-3}}+\sqrt{{5-x}}\ge \sqrt{{x-3+5-x}}=\sqrt{2}$ (dấu “=” xảy ra ⇔ x = 3 hoặc x = 5)

Suy ra min B = $ \displaystyle \sqrt{2}$ (khi và chỉ khi x = 3 hoặc x = 5).

Bài tập 39:

M = $ \displaystyle \frac{{{{x}^{2}}-\sqrt{2}}}{{{{x}^{2}}({{x}^{2}}-\sqrt{2})+\sqrt{3}({{x}^{2}}-\sqrt{2})}}=\frac{{{{x}^{2}}-\sqrt{2}}}{{({{x}^{2}}-\sqrt{2})({{x}^{2}}+\sqrt{3})}}=\frac{1}{{{{x}^{2}}+\sqrt{3}}}$ (với $ \displaystyle x\ne \pm \sqrt{{\sqrt{2}}}$)

Vì $ \displaystyle {{x}^{2}}+\sqrt{3}\ge \sqrt{3}$ với mọi x nên $ \displaystyle \frac{1}{{{{x}^{2}}+\sqrt{3}}}\le \frac{1}{{\sqrt{3}}}$. Vậy max A = $ \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{3}}}$ khi x = 0.

DẠNG 5: Chứng minh biểu thức.

Bài tập 40:

a) Có, chẳng hạn: $ \displaystyle \sqrt{{\frac{1}{2}}}+\sqrt{{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{2}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$.

b) Không. Giả sử tồn tại các số hữu tỉ dương a và b mà $ \displaystyle \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{{\sqrt{2}}}$.

Bình phương hai vế được $ \displaystyle a+b+2\sqrt{{ab}}=\sqrt{2}\Rightarrow 2\sqrt{{ab}}=\sqrt{2}-(a+b)$.

Lại bình phương hai vế ta có:

$ \displaystyle 4ab=2+{{(a+b)}^{2}}-2\sqrt{2}(a+b)\Rightarrow 2\sqrt{2}(a+b)=2+{{(a+b)}^{2}}-4ab$

Vế phải là số hữu tỉ, vế trái là số vô tỉ (vì a + b ≠ 0), mâu thuẫn.

Bài tập 41: Đặt x – y = a, $ \displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=b$ (1) thì a, b là các số hữu tỉ.

Xét hai trường hợp:

TH1: Nếu b ≠ 0 thì $ \displaystyle \frac{{x-y}}{{\sqrt{x}+\sqrt{y}}}=\frac{a}{b}$ nên $ \displaystyle \sqrt{x}-\sqrt{y}=\frac{a}{b}$ là số hữu tỉ. (2)

Từ (1) và (2) ta có: $ \displaystyle \sqrt{x}=\frac{1}{2}\left( {b+\frac{a}{b}} \right)$ là số hữu tỉ.

$ \displaystyle \sqrt{y}=\frac{1}{2}\left( {b-\frac{a}{b}} \right)$ là số hữu tỉ.

TH2: Nếu b = 0 thì x = y = 0, hiển nhiên $ \displaystyle \sqrt{x}$, $ \displaystyle \sqrt{y}$ là số hữu tỉ.

Bài tập 42: Xét tổng hai số:

$ \displaystyle (2a+b-2\sqrt{{cd}})+(2c+d-2\sqrt{{ab}})=(a+b-2\sqrt{{ab}})+(c+d-2\sqrt{{cd}})+a+c$

$ \displaystyle ={{(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^{2}}+{{(\sqrt{c}-\sqrt{d})}^{2}}+a+c>0$.

Tồn tại một trong hai số trên là số dương.

Bài tập 43: 

a) Ta có: $ \displaystyle {{(\sqrt{{a+b}})}^{2}}=a+b$ (1)

$ \displaystyle {{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^{2}}=a+b+2\sqrt{{ab}}$  (2)

Vì a > 0, b > 0 nên $ \displaystyle 2\sqrt{{ab}}$ > 0, do đó từ (1) và (2) suy ra:

$ \displaystyle {{(\sqrt{{a+b}})}^{2}}<{{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^{2}}$ hay $ \displaystyle \sqrt{{a+b}}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

b) Áp dụng câu a) cho hai số dương 2017 và 2018, ta có:

$ \displaystyle \sqrt{{2017+2018}}<\sqrt{{2017}}+\sqrt{{2018}}$

Bài tập 44:

$ \displaystyle \sqrt{{ax}}+\sqrt{{by}}\le \sqrt{{(a+b)(x+y)}}\Leftrightarrow ax+by+2\sqrt{{abxy}}\le ax+ay+bx+by$

⇔ $ \displaystyle ay+bx-2\sqrt{{abxy}}\ge 0$

⇔ $ \displaystyle {{\left( {\sqrt{{ay}}-\sqrt{{bx}}} \right)}^{2}}\ge 0$

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng.

(Dấu “=” xảy ra ⇔ ay = bx ⇔ $ \displaystyle \frac{a}{x}=\frac{b}{y}$).

Bài tập 45: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các cặp số không âm a và b, b và c, a và c, ta có: $ \displaystyle a+b\ge 2\sqrt{{ab}}$ ; $ \displaystyle b+c\ge 2\sqrt{{bc}}$ ; $ \displaystyle a+c\ge 2\sqrt{{ac}}$.

Suy ra $ \displaystyle (a+b)+(b+c)+(c+a)\ge 2(\sqrt{{ab}}+\sqrt{{bc}}+\sqrt{{ac}})$

Do đó $ \displaystyle a+b+c\ge \sqrt{{ab}}+\sqrt{{bc}}+\sqrt{{ca}}$.

Bài tập 46: $ \displaystyle \sqrt{{n+a}}+\sqrt{{n-a}}<2\sqrt{n}$

$ \displaystyle \Leftrightarrow n+a+n-a+2\sqrt{{{{n}^{2}}-{{a}^{2}}}}<4n\Leftrightarrow \sqrt{{{{n}^{2}}-{{a}^{2}}}}<n$

$ \displaystyle \Leftrightarrow {{n}^{2}}-{{a}^{2}}<{{n}^{2}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}>0$

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng.

Áp dụng với n = 100; a = 1 ta được

$ \displaystyle \begin{array}{l}\sqrt{{101}}+\sqrt{{99}}<2\sqrt{{100}}=20\\\sqrt{{101}}-\sqrt{{99}}=\frac{{(\sqrt{{101}}-\sqrt{{99}})(\sqrt{{101}}+\sqrt{{99}})}}{{\sqrt{{101}}+\sqrt{{99}}}}=\frac{2}{{\sqrt{{101}}-\sqrt{{99}}}}>\frac{2}{{20}}=0,1\end{array}$

Bài tập 47: Giả sử tồn tại A, B ∈ $ \displaystyle \mathbb{Z}$ để có đẳng thức:

$ \displaystyle 99999+11111\sqrt{3}={{(A+B\sqrt{3})}^{2}}$

Suy ra: $ \displaystyle 99999+11111\sqrt{3}={{A}^{2}}+3{{B}^{2}}+2AB\sqrt{3}$

Do đó: $ \displaystyle \sqrt{3}=\frac{{-99999+{{A}^{2}}+3{{B}^{2}}}}{{11111-2AB}}$ là số hữu tỉ, vô lý.

Bài tập 48:

Ta có: A + B = $ \displaystyle a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+2\sqrt{{ab}}$

$ \displaystyle =(\sqrt{a}+\sqrt{b})\left[ {{{{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}}^{2}}-3\sqrt{{ab}}} \right]+2\sqrt{{ab}}$

A . B = $ \displaystyle \sqrt{{ab}}(\sqrt{{ab}}+1)+\sqrt{{ab}}(\sqrt{a}+\sqrt{b})\left[ {{{{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}}^{2}}-3\sqrt{{ab}}} \right]$

Đặt $ \displaystyle \sqrt{a}+\sqrt{b}=p$, $ \displaystyle \sqrt{{ab}}=q$ (p, q ∈ $ \displaystyle \mathbb{Q}$) thì:

A + B = p(p² – 3q) + 2q

A . B = q(q + 1) + pq(p² – 3q)

là các số hữu tỉ.

Bài tập 49: (Hs tự chứng minh).

Bài tập 50:

$ \displaystyle 2\left( {\sqrt{{n+1}}-\sqrt{n}} \right)=\frac{{2\left( {\sqrt{{n+1}}-\sqrt{n}} \right)\left( {\sqrt{{n+1}}+\sqrt{n}} \right)}}{{\sqrt{{n+1}}+\sqrt{n}}}=\frac{2}{{\sqrt{{n+1}}+\sqrt{n}}}<\frac{2}{{2\sqrt{n}}}=\frac{1}{{\sqrt{n}}}$          (1)

$ \displaystyle 2\left( {\sqrt{n}-\sqrt{{n-1}}} \right)=\frac{{2\left( {\sqrt{n}-\sqrt{{n-1}}} \right)\left( {\sqrt{n}+\sqrt{{n-1}}} \right)}}{{\sqrt{n}+\sqrt{{n-1}}}}=\frac{2}{{\sqrt{n}+\sqrt{{n-1}}}}>\frac{2}{{2\sqrt{n}}}=\frac{1}{{\sqrt{n}}}$          (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

$ \displaystyle S=1+\frac{1}{{\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{{100}}}}$

Áp dụng bất đẳng thức (1) ta được:

$ \displaystyle S>1+2\left[ {\left( {\sqrt{3}-\sqrt{2}} \right)+\left( {\sqrt{4}-\sqrt{3}} \right)+\left( {\sqrt{5}-\sqrt{4}} \right)+…+\left( {\sqrt{{101}}-\sqrt{{100}}} \right)} \right]$

$ \displaystyle S>1+2\left[ {\sqrt{{101}}-\sqrt{2}} \right]>1+2(10-1,5)=18$.

Áp dụng bất đẳng thức (2) ta được:

$ \displaystyle S<1+2\left[ {\left( {\sqrt{2}-\sqrt{1}} \right)+\left( {\sqrt{3}-\sqrt{2}} \right)+\left( {\sqrt{4}-\sqrt{3}} \right)+…+\left( {\sqrt{{100}}-\sqrt{{99}}} \right)} \right]$

$ \displaystyle S<1+2\left[ {\sqrt{{100}}-\sqrt{1}} \right]=1+2(10-1)=19$.

Vậy 18 < S < 19.

Bài tập 51:

$ \displaystyle \frac{1}{{2\sqrt{{n+1}}}}=\frac{1}{{\sqrt{{n+1}}+\sqrt{{n+1}}}}<\frac{1}{{\sqrt{{n+1}}+\sqrt{n}}}=\grave{\ }\frac{{\sqrt{{n+1}}-\sqrt{n}}}{{(\sqrt{{n+1}}+\sqrt{n})(\sqrt{{n+1}}-\sqrt{n})}}=\sqrt{{n+1}}-\sqrt{n}$

Suy ra $ \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{{n+1}}}}<2\left( {\sqrt{{n+1}}-\sqrt{n}} \right)$

Cho n lần lượt lấy các giá trị từ 0 đến 2499 ta được:

$ \displaystyle 1<2$

$ \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{2}}}<2(\sqrt{2}-1)$

$ \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{3}}}<2(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

………………

$ \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{{2500}}}}<2(\sqrt{{2500}}-\sqrt{{2499}})$

Vậy $ \displaystyle 1+\frac{1}{{\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}}}+\frac{1}{{\sqrt{{2500}}}}<2\left( {1+\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+…+\sqrt{{2500}}-\sqrt{{2499}}} \right)$

= $ \displaystyle 2.\sqrt{{2500}}=100$.

Bài tập 52:

Ta có: $ \displaystyle 1+{{x}^{2}}=xy+yz+xz+{{x}^{2}}=x(x+y)+z(x+y)=(x+y)(x+z)$

Tương tự: $ \displaystyle 1+{{y}^{2}}=(y+x)(y+z)$; $ \displaystyle 1+{{z}^{2}}=(z+x)(z+y)$.

Vậy S = $ \displaystyle x\sqrt{{{{{(y+z)}}^{2}}}}+y\sqrt{{{{{(z+x)}}^{2}}}}+z\sqrt{{{{{(x+y)}}^{2}}}}$

= 2(xy + yz + zx) = 2.1 = 2.

Bài tập 53: Đặt a – b = x, b – c = y, c – a = z, ta có:

$ \displaystyle \frac{1}{{{{{(a-b)}}^{2}}}}+\frac{1}{{{{{(b-c)}}^{2}}}}+\frac{1}{{{{{(c-a)}}^{2}}}}=\frac{1}{{{{x}^{2}}}}+\frac{1}{{{{y}^{2}}}}+\frac{1}{{{{z}^{2}}}}={{\left( {\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}} \right)}^{2}}-2\left( {\frac{1}{{xy}}+\frac{1}{{yz}}+\frac{1}{{xz}}} \right)$

= $ \displaystyle {{\left( {\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}} \right)}^{2}}-\frac{{2(x+y+z)}}{{xyz}}={{\left( {\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}} \right)}^{2}}$

(vì x + y + z = a – b + b – c + c – a = 0).

Vậy A = $ \displaystyle \sqrt{{{{{\left( {\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}} \right)}}^{2}}}}=\left| {\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}} \right|=\left| {\frac{1}{{a-b}}+\frac{1}{{b-c}}+\frac{1}{{c-a}}} \right|$ là số hữu tỉ.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki.

Bài tập 54:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si đối với các số dương x, y, z ta được:

Suy ra:                  $ \displaystyle 2(x+y+z)\ge 2\left( {\sqrt{{xy}}+\sqrt{{yz}}+\sqrt{{zx}}} \right)$

hay              $ \displaystyle x+y+z\ge \sqrt{{xy}}+\sqrt{{yz}}+\sqrt{{zx}}$ (dấu “=” xảy ra ⇔ x= y = z).

Bài tập 55: ĐKXĐ: –3 ≤ x ≤ 5

$ \displaystyle {{A}^{2}}=x+3+5-x+2\sqrt{{(x+3)(5-x)}}$

$ \displaystyle {{A}^{2}}\le 8+(x+3+5-x)$ (bất đẳng thức Cô-si)

$ \displaystyle {{A}^{2}}\le 16$ (dấu “=” xảy ra ⇔ x + 3 = 5 – x Û x = 1)

Vậy |A| ≤ 4 mà A > 0 nên A ≤  4 (dấu “=” xảy ra Û x = 1).

Bài tập 56:

B = $ \displaystyle \frac{{{{x}^{3}}}}{{y+1}}+\frac{{{{y}^{3}}}}{{x+1}}=\frac{{({{x}^{4}}+{{y}^{4}})+({{x}^{3}}+{{y}^{3}})}}{{xy+x+y+1}}$

= $ \displaystyle \frac{{({{x}^{4}}+{{y}^{4}})+(x+y)({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy)}}{{x+y+2}}=\frac{{({{x}^{4}}+{{y}^{4}})+(x+y)({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1)}}{{x+y+2}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si đối với các số dương x², y², x⁴, y⁴ ta được:

$ \displaystyle B\ge \frac{{2{{x}^{2}}{{y}^{2}}+(x+y)(2xy-1)}}{{x+y+2}}=\frac{{2+(x+y)}}{{x+y+2}}=1$

(Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = 1)

Bài tập 57:

$ \displaystyle \frac{1}{{x+1}}=2-\frac{1}{{y+1}}-\frac{1}{{z-1}}=\left( {1-\frac{1}{{y+1}}} \right)+\left( {1-\frac{1}{{z+1}}} \right)$

= $ \displaystyle \frac{y}{{y+1}}+\frac{z}{{z+1}}\ge 2\sqrt{{\frac{{yz}}{{(y+1)(z+1)}}}}$ (bất đẳng thức Cô-si)

Tương tự, $ \displaystyle \frac{1}{{y+1}}\ge 2\sqrt{{\frac{{xz}}{{(x+1)(z+1)}}}}$ ; $ \displaystyle \frac{1}{{z+1}}\ge 2\sqrt{{\frac{{xy}}{{(x+1)(y+1)}}}}$

Suy ra      $ \displaystyle \frac{1}{{x+1}}.\frac{1}{{y+1}}.\frac{1}{{z+1}}\ge \frac{{8xyz}}{{(x+1)(y+1)(z+1)}}$

Do đó $ \displaystyle xyz\le \frac{1}{8}$ (dấu “=” xảy ra Û $ \displaystyle \frac{x}{{x+1}}=\frac{y}{{y+1}}=\frac{z}{{z+1}}\Leftrightarrow x=y=z$).

Bài tập 58:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si đối với các số dương x⁴, y⁴, z⁴ và x², y², z² ta được:

$ \displaystyle {{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}=\frac{{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}}}{2}+\frac{{{{y}^{4}}+{{z}^{4}}}}{2}+\frac{{{{x}^{4}}+{{z}^{4}}}}{2}\ge {{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{x}^{2}}{{z}^{2}}$

= $ \displaystyle \frac{{{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}}}{2}+\frac{{{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{x}^{2}}{{z}^{2}}}}{2}+\frac{{{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{x}^{2}}{{z}^{2}}}}{2}\ge {{y}^{2}}xz+{{z}^{2}}xy+{{x}^{2}}zy$

= xyz(x + y + z) = 3xyz.

Vậy x⁴ + y⁴ + z⁴ ≥ 3xyz (dấu “=” xảy ra Û x = y = z = 1).

Do đó x = 1; y = 1; z = 1.

Bài tập 59:

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai bộ hai số (1; 2) và $ \displaystyle \left( {\sqrt{x};\sqrt{y}} \right)$ ta được:

$ \displaystyle {{\left( {1.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}} \right)}^{2}}\le ({{1}^{2}}+{{2}^{2}})(x+y)$

$ \displaystyle {{10}^{2}}\le 5(x+y)$

x + y ≥ 20

(Dấu “=” xảy ra $ \displaystyle \Leftrightarrow \frac{{\sqrt{x}}}{1}=\frac{{\sqrt{y}}}{2}\Leftrightarrow x=4;y=16$).

Bài tập 60:

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai bộ ba số (1; 1; 1) và $ \displaystyle \left( {\sqrt{{x+y}};\sqrt{{y+z}};\sqrt{{z+x}}} \right)$ ta được:

$ \displaystyle {{A}^{2}}={{\left( {1.\sqrt{{x+y}}+1.\sqrt{{y+z}}+1.\sqrt{{z+x}}} \right)}^{2}}$

$ \displaystyle \le ({{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}})(x+y+y+z+z+x)$

$ \displaystyle {{A}^{2}}\le 6(x+y+z)=6$

$ \displaystyle \left| A \right|\le \sqrt{6}$

Vì A > 0 nên $ \displaystyle A\le \sqrt{6}$ (Dấu “=” xảy ra Û x + y = y + z = z + x ⇔ x = y = z = $ \displaystyle \frac{1}{3}$).