Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật – Số học 6

Tính tổng dãy số lũy thừa là một dạng toán khó trong chương trình Số học 6, Toán lớp 6. Để giải được đòi hỏi phải có phương pháp.

Đó là các phương pháp quy nạp, khử liên tiếp. Các em xem tiếp lý thuyết và bài tập áp dụng có lời giải dưới đây.

I. Sử dụng phương pháp quy nạp tính tổng dãy số

– Đối với 1 số trường hợp khi tính tổng hữu hạn:

S_n = a₁ + a₂ + . . . +a_n (*)

khi mà ta có thể biết được kết quả (đề bài toán cho ta biết kết quả hoặc ta dự đoán được kết quả), thì ta sử dụng phương pháp quy nạp này để chứng minh.

* Ví dụ: Tính tổng S_n = 1 +3 +5 +. . . +(2n -1)

° Hướng dẫn: (sử dụng phương pháp quy nạp)

– Đầu tiên, ta thử với n = 1, ta có: S₁ = (2.1 – 1) = 1

Thử với n = 2, ta có: S₂ = (2.1 – 1) (2.2 – 1) = 1 +3 = 4 = 2²

Thử với n= 3,  ta có: S₃ = (2.1 – 1) (2.2 – 1) (2.3 – 1)= 1 +3 +5 = 9 = 3²

…   …   …

– Ta dự đoán: S_n = 1 +3 +5 . . . (2n -1) = n² 

• Phương pháp quy nạp: S_n = 1 +3 +5 . . . (2n -1) = n² (*)

Với n = 1; S₁ = 1 (đúng)

Giả sử đúng với n = k (k≠1), tức là:

S_k =1 +3 +5 . . . (2k -1) = k² (1)

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k +1, tức là:

S_{k +1} = 1 +3 +5 . . . (2k-1) (2k +1) = (k +1)²

Vì ta đã giải sử S_k đúng nên ta đã có (1), từ đây ta biến đổi để xuất hiện (2), (1) còn được gọi là giải thiết quy nạp.

1 +3 +5 . . . +(2k -1) = k²

1 +3 +5 . . .+ (2k-1) + (2k +1) = k²  (2k +1) (cộng 2k+ 1 vào 2 vế).

Từ đó ⇒  1 +3 +5 . . .+ (2k-1) + (2k +1) = k² + 2k +1 = (k +1)²

• Tương tự như vậy, ta có thể chứng minh các kết quả sau bằng phương pháp quy nạp toán học:

1) 

2) 

3) 

4) 

II. Sử dụng phương pháp khử liên tiếp tính tổng dãy số

– Giả sử cần tính tổng: S_n = a₁  a₂  . . . a_n (*) mà ta có thể biểu diễn a_i, i =1,2,3,…,n qua hiệu của 2 số hạng liên tiếp của 1 dãy khác, cụ thể như sau:

a₁ = b₁ – b₂

a₂ = b₂ – b₃

…   …   …

a_n = b_n – b_{n +1}

⇒ Khi đó ta có: S_n = (b₁ – b₂₎  (b₂ – b₃) … (b_n – b_{n +1}) = b₁ – b_{n +1}

* Ví dụ 1: Tính tổng:

° Hướng dẫn: – Ta có:

 …; 

⇒

• Dạng tổng quát: 

* Ví dụ 2: Tính tổng:

° Hướng dẫn: – Ta có:

  ;…; 

* Ví dụ 3: Tính tổng:

° Hướng dẫn: – Ta có:

III. Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng cần tìm

• Dạng toán này vận dựng 2 phương pháp giới thiệu ở trên

* Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+2 +2² + . . . +2¹⁰⁰ (*)

° Hướng dẫn:

* Cách 1: Ta viết lại S như sau:

S = 1+ 2(1 +2 +2² + . . .+ 2⁹⁹)

S = 1 + 2(1 + 2 + 2² + . . .+ 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰ – 2¹⁰⁰)

⇒ S = 1 + 2(S – 2¹⁰⁰) = 1+2S – 2¹⁰¹

⇒ S = 2¹⁰¹ – 1

* Cách 2: Nhân 2 vế với 2, ta được:

2S = 2(1 +2 +2² + . . . 2¹⁰⁰)

⇔ 2S = 2 +2² + 2³ + . . .+ 2¹⁰¹ (**)

– Lấy (**) trừ đi (*) ta được:

2S – S = (2 + 2² + 2³ + . . . +2¹⁰¹) – (1 +2 +2²  +. . . +2¹⁰⁰)

⇔ S = 2¹⁰¹ – 1.

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Ta nhân cả 2 vế của S_n với a. Rồi TRỪ vế với vế ta được: 

* Ví dụ 2: Tính:

S = 1 – 2 + 2² – 2³ + 2⁴ – . . . – 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰

° Hướng dẫn:– Ta có:

2S = 2(1 – 2 +2² – 2³ + 2⁴ – . . . – 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰)

⇔ 2S = 2 – 2² + 2³ – 2⁴ + 2⁵ – . . . – 2¹⁰⁰ + 2¹⁰¹

⇔ 2S S = (2 – 2² + 2³ – 2⁴ + 2⁵ – . . . – 2¹⁰⁰ + 2¹⁰¹) (1 – 2 + 2² – 2³ + 2⁴ – . . . – 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰)

⇔ 3S = 2¹⁰¹ + 1.

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Ta nhân cả 2 vế của S_n với a. Rồi CỘNG vế với vế ta được: 

* Ví dụ 3: Tính tổng:

S = 1+3² + 3⁴ + . . .+ 3⁹⁸ + 3¹⁰⁰ (*)

° Hướng dẫn:

– Với bài toán này, mục tiêu là nhân 2 vế của S với một số nào đó mà khi trừ vế với về thì ta được các số khử (triệu tiêu) liên tiếp.

– Đối với bài này, ta thấy số mũ của 2 số liên tiếp cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 3² rồi áp dụng phương pháp khử liên tiếp.

S = 1+3² + 3⁴ + . . .+ 3⁹⁸ + 3¹⁰⁰

⇔ 3².S = 3²(1 +3² + 3⁴ + . . . +3⁹⁸ + 3¹⁰⁰)

⇔ 9S= 3² + 3⁴ + . . .+ 3¹⁰⁰ + 3¹⁰²  (**)

– Ta Trừ vế với vế của (**) cho (*) được:

9S-S= (3² + 3⁴ + . . . 3¹⁰⁰ + 3¹⁰²) – (1+3² +3⁴ + . . . +3⁹⁸ + 3¹⁰⁰)

⇔ 8S = 3¹⁰² – 1

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Ta nhân cả 2 vế của S_n với a^d . Rồi TRỪ vế với vế ta được:

* Ví dụ 4: Tính:

S = 1 – 2³ + 2⁶ – 2⁹ . . . +2⁹⁶ – 2⁹⁹ (*)

° Hướng dẫn:

– Lũy thừa các số liên tiếp cách nhau 3 đơn vị, nhân 2 vế với 2³ ta được:

2³.S =  2³.(1 – 2³ + 2⁶ – 2⁹ + . . .+ 2⁹⁶ – 2⁹⁹)

⇒ 8S = 2³ – 2⁶ + 2⁹ – 2¹² + . . . +2⁹⁹ – 2¹⁰² (**)

– Ta CỘNG vế với vế (**) với (*) được:

8S S = (2³ – 2⁶ + 2⁹ – 2¹² + . . . +2⁹⁹ – 2¹⁰²) (1 – 2³ + 2⁶ – 2⁹ + . . .+ 2⁹⁶ – 2⁹⁹)

⇔ 9S = 1 – 2¹⁰² 

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Ta nhân cả 2 vế của S_n với a^d . Rồi CỘNG vế với vế ta được:

IV. Dạng toán vận dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều

• Đối với dạng này ở bậc học cao hơn như THPT các em sẽ có công thức tính theo cấp số cộng hoặc cấp số nhân, còn với lớp 6 các em dựa vào cơ sở lý thuyết sau:

– Để đếm được số hạng cảu 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

 Số số hạng = [(số cuối – số đầu):(khoảng cách)] 1

– Để tính Tổng các số hạng của một dãy mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

Tổng = [(số đầu số cuối).(số số hạng)]:2

* Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+3+5 +7 +… +39

° Hướng dẫn:

– Số số hạng của S là: (39-1):2+1 = 19+1 = 20.

S = [20.(39+1)]:2 = 10.40 = 400.

* Ví dụ 2: Tính tổng: S = 2+5+8+…+59

° Hướng dẫn:

– Số số hạng của S là:(59-2):3+1 = 19+1 = 20.

S = [20.(59+2)]:2 = 10.61 = 610.

V. Dạng toán tổng hợp vận dụng các tổng đã biết

• Ký hiệu: 

• Tính chất:

* Ví dụ: Tính tổng: S_n = 1.2+2.3 +3.4 … n(n+1)

° Hướng dẫn:

– Ta có: 

– Mặt khác, lại có:

 (theo PP quy nạp ở mục I).

 (theo PP quy nạp ở mục I)

VI. Một số bài tập luyện tập về tính tổng dãy số có quy luật

Bài tập 1: Tính tổng: S = 3 8 13 18 … 228

Bài tập 2: Tính các tổng sau:

a) S = 6 +6² + 6³ + … +6⁹⁹ + 6¹⁰⁰

b) S = 5 +11 +17 … 95 +101

c) 

d) 

Bài tập 3: Chứng minh

a) 1.4 +4.7 +7.10 … (3n-2)(3n+1) = n(n+1)²

b)