Đại số 9 – Chuyên đề 1 – Căn bậc hai & Hằng đẳng thức

A– LÝ THUYẾT

I . Căn bậc hai:

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: Phân biệt căn bậc hai và căn bậc hai số học

Bài tập 1: Tìm câu đúng trong các câu sau:

Bài tập 2: Tìm câu đúng trong các câu sau:

Bài tập 3: Tìm các căn bậc hai số học của các số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng:

16;        25;        144;        0,09;        225;        ${\displaystyle \frac{9}{16}}$;        121;        10 000;        0,01.

DẠNG 2: Chứng minh căn một số là số vô tỉ

Bài tập 3: Chứng minh ${\displaystyle \sqrt{5}}$ là số vô tỉ.

Giải:

Chứng minh bằng phương pháp phản chứng:

Giả sử ${\displaystyle \sqrt{5}}$ là số hữu tỉ.

Như vậy ${\displaystyle \sqrt{5}}$ có thể biểu diễn dưới dạng phân số tối giản ${\displaystyle \frac{\text{m}}{\text{n}}}$, tức là ${\displaystyle \sqrt{5}=\frac{\text{m}}{\text{n}}}$.

Suy ra ${\displaystyle {(\sqrt{5})}^2={\left(\frac{\text{m}}{\text{n}}\right)}^2}$ hay 5n² = m²               (1).

Đẳng thức này chứng tỏ m² ${\displaystyle ⋮}$ 5, mà 5 là số nguyên tố nên m ${\displaystyle ⋮}$ 5.

Đặt m = 5k (k ${\displaystyle \in \mathbb{Z}}$), ta có m² = 25k²             (2).

Từ (1) và (2) suy ra 5n² = 25k² nên n² = 5k² (3).

Từ (3) ta lại có n² ${\displaystyle ⋮}$ 5 mà 5 là số nguyên tố nên n ${\displaystyle ⋮}$ 5.

m và n cùng chia hết cho 5 nên phân số ${\displaystyle \frac{\text{m}}{\text{n}}}$ không tối giản, trái với giả thiết.

Vậy ${\displaystyle \sqrt{5}}$ không phải là số hữu tỉ, do đó ${\displaystyle \sqrt{5}}$ là số vô tỉ.

Bài tập 4: Chứng minh rằng:

DẠNG 3: Giải phương trình, bất phương trình chứa căn

Bài tập 5: Giải phương trình:

Bài tập 6: Tìm x không âm, biết:

DẠNG 4: So sánh các số có căn

Bài tập 7: So sánh hai số:

Bài tập 8: So sánh hai số:

Bài tập 9: So sánh hai số:

Bài tập 10: So sánh các số:

Hướng dẫn và đáp số:

Bài tập 1: Câu c) d) đúng

Bài tập 2: Câu c) d) đúng

Bài tập 4:   

a) b) Chứng minh tương tự bài 3

c) Giả sử ${\displaystyle \sqrt{3}+1}$ là một số hữu tỉ. Đặt ${\displaystyle \sqrt{3}+1=x}$ (x ${\displaystyle \in \mathbb{Q}}$), ta có:

${\displaystyle {(\sqrt{3}+1)}^2=x^2\iff 3+2\sqrt{3}+1=x^2\iff \sqrt{3}=\frac{x^2-4}{2}}$

Vì x là số hữu tỉ nên x² – 4 là số hữu tỉ, do đó ${\displaystyle \frac{x^2-4}{2}}$ là số hữu tỉ.

Như vậy ${\displaystyle \sqrt{3}}$ là số hữu tỉ, điều này vô lý. Vậy ${\displaystyle \sqrt{3}+1}$ là số vô tỉ.

d) Giả sử ${\displaystyle \sqrt{1+\sqrt{2}}}$ = m (m là số hữu tỉ) thì ${\displaystyle \sqrt{2}}$ = m² – 1 nên ${\displaystyle \sqrt{2}}$ là số hữu tỉ, vô lý.

Bài tập 5: Giải phương trình:

Bài tập 7: So sánh hai số:

a) ${\displaystyle 2\sqrt{3}}$ và ${\displaystyle 3\sqrt{2}}$

Có: ${\displaystyle {\left(2\sqrt{3}\right)}^2=2^2.{\left(\sqrt{3}\right)}^2=4.3=12}$;             ${\displaystyle {\left(3\sqrt{2}\right)}^2=3^2.{\left(\sqrt{2}\right)}^2=9.2=18}$

Do 12 < 18 nên ${\displaystyle {\left(2\sqrt{3}\right)}^2}$ < ${\displaystyle {\left(3\sqrt{2}\right)}^2}$ hay ${\displaystyle 2\sqrt{3}}$ < ${\displaystyle 3\sqrt{2}}$

b) ${\displaystyle 6\sqrt{5}}$ và ${\displaystyle 5\sqrt{6}}$

Có: ${\displaystyle {\left(6\sqrt{5}\right)}^2=6^2.{\left(\sqrt{5}\right)}^2=36.5=180}$;             ${\displaystyle {\left(5\sqrt{6}\right)}^2=5^2.{\left(\sqrt{6}\right)}^2=25.6=150}$

Do 180 > 150 nên ${\displaystyle {\left(6\sqrt{5}\right)}^2}$ > ${\displaystyle {\left(5\sqrt{6}\right)}^2}$ hay ${\displaystyle 6\sqrt{5}}$ > ${\displaystyle 5\sqrt{6}}$

c) ${\displaystyle 3\sqrt{26}}$ và 15

Ta có 15 = 3.5, nên ta đi so sánh: ${\displaystyle \sqrt{26}}$ và 5

Bài tập 8: So sánh hai số:

${\displaystyle \sqrt{37}-\sqrt{15}}$ với 2

Có: ${\displaystyle 37>36\Rightarrow \sqrt{37}>\sqrt{36}}$;

${\displaystyle \sqrt{15}<\sqrt{16}\Rightarrow -\sqrt{15}>-\sqrt{16}}$

Nên ${\displaystyle \sqrt{37}-\sqrt{15}>\sqrt{36}-\sqrt{16}=6-4=2}$

Bài tập 9: So sánh hai số:

${\displaystyle \frac{13-2\sqrt{3}}{6}>\frac{13-2\sqrt{4}}{6}=1,5}$

Mặt khác: (1,5)² = 2,25;     ${\displaystyle {\left(\sqrt{2}\right)}^2=2}$

Suy ra: 1,5 > ${\displaystyle \sqrt{2}}$, do đó: ${\displaystyle \frac{13-2\sqrt{3}}{6}>\sqrt{2}}$