Đại số 9 – Chuyên đề 2 – Nhân, chia căn thức bậc hai (tiếp)

C – Hướng dẫn – trả lời – đáp số

DẠNG 1: Thực hiện phép tính.

Bài tập 1: Tính:

a) A = ${\displaystyle \sqrt{(3+\sqrt{5+2\sqrt{3}})(3-\sqrt{5+2\sqrt{3}})}=\sqrt{3^2-{(\sqrt{5+2\sqrt{3}})}^2}}$

= ${\displaystyle \sqrt{9-5-2\sqrt{3}}=\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{{(\sqrt{3}-1)}^2}=\sqrt{3}-1}$.

b) B = ${\displaystyle \sqrt{4+\sqrt{4}.\sqrt{2}}.\sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{2}})(2-\sqrt{2+\sqrt{2}})}=\sqrt{4+2\sqrt{2}}.\sqrt{2^2-{(\sqrt{2+\sqrt{2}})}^2}}$

= ${\displaystyle \sqrt{2(2+\sqrt{2})}.\sqrt{2-\sqrt{2}}=\sqrt{2(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}=\sqrt{2.2}=2}$.

Bài tập 2: Thực hiện phép tính:

a) ${\displaystyle \sqrt{36}+3\sqrt{9.5}-4\sqrt{9^2.5}=6+9\sqrt{5}-36\sqrt{5}=6-27\sqrt{5}}$;

b) ${\displaystyle \sqrt{36.7}-\sqrt{100.7}+\sqrt{144.7}-\sqrt{64.7}=\sqrt{7}.(\sqrt{36}-\sqrt{100}+\sqrt{144}-\sqrt{64})}$

= ${\displaystyle \sqrt{7}.(6-10+12-8)=0}$;

c) ${\displaystyle 2\sqrt{40\sqrt{12}}-2\sqrt{5\sqrt{3}}-3\sqrt{20\sqrt{3}}=2\sqrt{80\sqrt{3}}-2\sqrt{5\sqrt{3}}-6\sqrt{5\sqrt{3}}}$

= ${\displaystyle 8\sqrt{5\sqrt{3}}-2\sqrt{5\sqrt{3}}-6\sqrt{5\sqrt{3}}=\sqrt{5\sqrt{3}}(8-2-6)=0}$.

Bài tập 3: Thực hiện phép tính:

Bài tập 4:

Ta có: ${\displaystyle \sqrt{\frac{3}{5}}+\sqrt{\frac{5}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\frac{8}{\sqrt{15}}}$.

Vậy M = ${\displaystyle \sqrt{15{\left(\frac{8}{\sqrt{15}}\right)}^2-8.\frac{8}{\sqrt{15}}.\sqrt{15}+16}=\sqrt{8^2-8^2+16}=\sqrt{16}=4}$.

Bài tập 5: Tính:

a) ${\displaystyle \sqrt{\frac{99999}{11111}}=\sqrt{9}=3}$.

b) ${\displaystyle \sqrt{\frac{{84}^2-{37}^2}{47}}=\sqrt{\frac{(84+37)(84-37)}{47}}=\sqrt{\frac{121.47}{47}}=\sqrt{121}=11}$.

c) ${\displaystyle \sqrt{\frac{5({38}^2-{17}^2)}{8({47}^2-{19}^2)}}=\sqrt{\frac{5(38+17)(38-17)}{8(47+19)(47-19)}}=\sqrt{\frac{5.55.21}{8.66.28}}=\sqrt{\frac{25}{64}}=\frac{5}{8}}$.

d) ${\displaystyle \sqrt{\frac{0,2.1,21.0,3}{7,5.3,2.0,64}}=\sqrt{\frac{2.121.3}{75.32.64}}=\sqrt{\frac{121}{25600}}=\frac{11}{160}}$.

Bài tập 6: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng tích rồi tính:

a) ${\displaystyle \sqrt{(27+23)(27-23)}=\sqrt{50.4}=\sqrt{{2.5}^2{.2}^2}=10\sqrt{2}}$;

b) ${\displaystyle \sqrt{(37+35)(37-35)}=\sqrt{72.2}=\sqrt{144}=12}$;

c) ${\displaystyle \sqrt{(65+63)(65-63)}=\sqrt{128.2}=\sqrt{256}=16}$;

d) ${\displaystyle \sqrt{(117+108)(117-108)}=\sqrt{225.9}=15.3=45}$.

Bài tập 7: Tích của hai số là: ${\displaystyle \frac{\sqrt{19}+\sqrt{7}}{2}.\frac{\sqrt{19}-\sqrt{7}}{2}=\frac{19-7}{4}=3}$.

Bài tập 8: Tính ${\displaystyle \sqrt{A}}$ biết:

a) A = ${\displaystyle {(\sqrt{7}-\sqrt{6})}^2}$; ${\displaystyle \sqrt{A}=\sqrt{7}-\sqrt{6}}$;

b) A = ${\displaystyle {(3\sqrt{5}+1)}^2}$; ${\displaystyle \sqrt{A}=3\sqrt{5}+1}$;

c) 2A = ${\displaystyle 24-6\sqrt{15}={(\sqrt{15}-3)}^2}$; ${\displaystyle \sqrt{A}=\frac{\sqrt{15}-3}{\sqrt{2}}}$.

Bài tập 9: Tính:

a) ${\displaystyle \sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{2}}-\sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{2}}-\sqrt{2}=\frac{\sqrt{{(\sqrt{5}+1)}^2}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{{(\sqrt{5}-1)}^2}}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}}$

= ${\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1-\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}=\sqrt{2}-\sqrt{2}=0}$;

b) Biến đổi tương tự câu a). Đáp số: ${\displaystyle \sqrt{7}-\sqrt{2}}$;

c) Biến đổi tương tự câu a). Đáp số: ${\displaystyle 4\sqrt{6}}$.

Bài tập 10: Thực hiện các phép tính:

a) Viết ${\displaystyle 4+\sqrt{15}}$ thành ${\displaystyle \sqrt{4+\sqrt{15}}.\sqrt{4+\sqrt{15}}}$ ta được:

${\displaystyle \sqrt{4+\sqrt{15}}.\sqrt{4+\sqrt{15}}.\sqrt{4-\sqrt{15}}.(\sqrt{10}-\sqrt{6})}$

= ${\displaystyle \sqrt{4+\sqrt{15}}.1.\sqrt{2}.(\sqrt{5}-\sqrt{3})}$

= ${\displaystyle \sqrt{8+2\sqrt{15}}.(\sqrt{5}-\sqrt{3})=(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=2}$.

b) Đáp số: 8.

c) Đặt ${\displaystyle \frac{\sqrt{\sqrt{5}+2}+\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{\sqrt{5}+1}}}$ = m, ${\displaystyle \sqrt{3-2\sqrt{2}}}$ = n.

Tính m² ta được m² = 2 nên m = ${\displaystyle \sqrt{2}}$. Tính n ta được ${\displaystyle \sqrt{2}-1}$. Đáp số: 1.

Bài tập 11:

M = ${\displaystyle \frac{\sqrt{{(2x+1)}^2}}{\sqrt{x}.\sqrt{x}.\left|2x^2-x-1\right|}=\frac{2x+1}{x.\left|2x^2-x-1\right|}}$.

x = ${\displaystyle (\sqrt{10}-\sqrt{6}).\sqrt{4+\sqrt{15}}=\sqrt{2}.(\sqrt{5}-\sqrt{3}).\sqrt{4+\sqrt{15}}}$

= ${\displaystyle (\sqrt{5}-\sqrt{3}).\sqrt{8+2\sqrt{15}}=(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})=2}$.

Vậy M = ${\displaystyle \frac{2.2+1}{2.\left|{2.2}^2-2-1\right|}=\frac{5}{2.\left|5\right|}=\frac{1}{2}}$.

Bài tập 12: Tính:

a)

Q = ${\displaystyle \sqrt{3-\sqrt{5}}.\sqrt{3+\sqrt{5}}.(\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{3+\sqrt{5}})}$

= ${\displaystyle \sqrt{3^2-{(\sqrt{5})}^2}.(\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{3+\sqrt{5}})}$

= ${\displaystyle 2.(\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{3+\sqrt{5}})=\sqrt{2}.\sqrt{2}.(\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{3+\sqrt{5}})}$

= ${\displaystyle \sqrt{2}.(\sqrt{3-\sqrt{5}}.\sqrt{2}+\sqrt{3+\sqrt{5}}.\sqrt{2})=\sqrt{2}.(\sqrt{6-2\sqrt{5}}+\sqrt{6+2\sqrt{5}})}$

= ${\displaystyle \sqrt{2}.(\sqrt{{(\sqrt{5}-1)}^2}+\sqrt{{(\sqrt{5}+1)}^2})=\sqrt{2}.(\sqrt{5}-1+\sqrt{5}+1)=2\sqrt{10}}$;

b) R = ${\displaystyle \sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}).(2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}})}}$

= ${\displaystyle \sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{4-(2+\sqrt{2+\sqrt{3}})}}$

= ${\displaystyle \sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$

= ${\displaystyle \sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{3}}).(2-\sqrt{2+\sqrt{3}})}=\sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{4-(2+\sqrt{3})}}$

= ${\displaystyle \sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{4-3}=\sqrt{1}=1}$.

Bài tập 13: So sánh:

a) Ta có: ${\displaystyle {(3+\sqrt{5})}^2=9+5+6\sqrt{5}=14+\sqrt{36}.\sqrt{5}=14+\sqrt{180}}$,

${\displaystyle {(2\sqrt{2}+\sqrt{6})}^2=8+6+4\sqrt{12}=14+\sqrt{16}.\sqrt{12}=14+\sqrt{192}}$.

Vì 180 < 192 nên ${\displaystyle 14+\sqrt{180}}$ < ${\displaystyle 14+\sqrt{192}}$ hay ${\displaystyle 3+\sqrt{5}}$ < ${\displaystyle 2\sqrt{2}+\sqrt{6}}$.

b) Tương tự câu a): ${\displaystyle 2\sqrt{3}+4}$ > ${\displaystyle 3\sqrt{2}+\sqrt{10}}$.

c) Cách 1: Ta có: 18² = 324,

${\displaystyle {(\sqrt{15}.\sqrt{17})}^2=255}$.

Vì 324 > 255 nên 18² > ${\displaystyle {(\sqrt{15}.\sqrt{17})}^2}$ hay 18 > ${\displaystyle \sqrt{15}.\sqrt{17}}$.

Cách 2: Ta có: ${\displaystyle \sqrt{15}.\sqrt{17}=\sqrt{16-1}.\sqrt{16+1}}$

= ${\displaystyle \sqrt{(16-1).(16+1)}=\sqrt{{16}^2-1}<\sqrt{{16}^2}=16<18}$.

Bài tập 14^*:

994. 997² = 997² – 3² + 3² = (997 – 3)(997 + 3) + 3² = 994.1000 + 9 = 994009.
995. ${\displaystyle A={(\sqrt{A})}^2-16+16=(\sqrt{A}-4)(\sqrt{A}+4)+16}$

= ${\displaystyle \underset{100chuso9}{\underbrace{99\dots 9}}2.1\underset{101chuso0}{\underbrace{00\dots 0}}+16=\underset{100chuso9}{\underbrace{99\dots 9}}2\underset{99chuso0}{\underbrace{00\dots 0}}16}$

Tổng các chữ số của A bằng: 900 + 2 + 1 + 6 = 909.

DẠNG 2: Rút gọn biểu thức

Bài tập 15:

• Cách 1:

Có:    ${\displaystyle 4+\sqrt{7}=\frac{8+2\sqrt{7}}{2}={\left(\frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{2}}\right)}^2}$;          ${\displaystyle 4-\sqrt{7}=\frac{8-2\sqrt{7}}{2}={\left(\frac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{2}}\right)}^2}$

Do đó: M = ${\displaystyle \sqrt{{\left(\frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{2}}\right)}^2}-\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{2}}\right)}^2}=\frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}}$.

• Cách 2:

Dễ thấy M > 0.

M² = ${\displaystyle {(\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}})}^2=4+\sqrt{7}+4-\sqrt{7}-2\sqrt{(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})}}$

= ${\displaystyle 8-2\sqrt{9}=2}$.

Suy ra M = ${\displaystyle \sqrt{2}}$. (Vì M > 0).

• Cách 3:

* Nhận xét: Với A = 4, B = 7 thì A² – B = 16 – 7 = 9 là một số chính phương nên ta nghĩ đến việc sử dụng công thức “căn phức tạp”.

${\displaystyle \sqrt{A\pm B}=\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}\pm \sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}}$

* Trình bày lời giải:

M = ${\displaystyle \sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}}$

= ${\displaystyle \left(\sqrt{\frac{4+\sqrt{4^2-7}}{2}}+\sqrt{\frac{4-\sqrt{4^2-7}}{2}}\right)-\left(\sqrt{\frac{4+\sqrt{4^2-7}}{2}}-\sqrt{\frac{4-\sqrt{4^2-7}}{2}}\right)}$

= ${\displaystyle \sqrt{\frac{7}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{\frac{7}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}=2.\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}}$.

Bài tập 16: Rút gọn biểu thức:

Bài tập 17: Rút gọn các biểu thức:

a) A = ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}.\sqrt{3}+\sqrt{2}.\sqrt{7}}{2\sqrt{3}+\sqrt{4}.\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{2}.(\sqrt{3}+\sqrt{7})}{2.(\sqrt{3}+\sqrt{7})}=\frac{\sqrt{2}}{2}}$;

b) B = ${\displaystyle \frac{9\sqrt{5}+9\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{9.(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=9}$;

c) C = ${\displaystyle \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4})+\sqrt{2}.(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4})}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}=\frac{(1+\sqrt{2}).(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4})}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}}$

= ${\displaystyle 1+\sqrt{2}}$.

d) D = ${\displaystyle \frac{3.2\sqrt{2}-2.2\sqrt{3}+2\sqrt{5}}{3.3\sqrt{2}-2.3\sqrt{3}+3\sqrt{5}}=\frac{2.(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{5})}{3.(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{5})}=\frac{2}{3}}$.

Bài tập 18: Tính M² = 2. Đáp số: ${\displaystyle -\sqrt{2}}$. (Xem lại cách 2 bài tập 15)

Bài tập 19: Rút gọn các biểu thức:

a) A = ${\displaystyle \sqrt{6+2\sqrt{2}.\sqrt{3-(\sqrt{3}+1)}}=\sqrt{6+2\sqrt{2}.\sqrt{2-\sqrt{3}}}=\sqrt{6+2\sqrt{4-2\sqrt{3}}}}$

= ${\displaystyle \sqrt{6+2(\sqrt{3}-1)}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}=1+\sqrt{3}}$;

b) B = 1;

c) C = 8.

Bài tập 20: Rút gọn biểu thức:

ĐKXĐ: ${\displaystyle \{\begin{array}{l}2x-1\ge 0\\ x\ge \sqrt{2x-1}\end{array}\iff x\ge \frac{1}{2}}$

* Cách 1:

${\displaystyle A\sqrt{2}=\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}-\sqrt{2x-2\sqrt{2x-1}}}$

= ${\displaystyle \sqrt{2x-1+2\sqrt{2x-1}+1}-\sqrt{2x-1-2\sqrt{2x-1}+1}}$

= ${\displaystyle \sqrt{{(\sqrt{2x-1}+1)}^2}-\sqrt{{(\sqrt{2x-1}-1)}^2}}$

= ${\displaystyle \sqrt{2x-1}+1-\left|\sqrt{2x-1}-1\right|}$

TH1: Nếu ${\displaystyle \frac{1}{2}\le x<1}$ thì ${\displaystyle A\sqrt{2}=\sqrt{2x-1}+1-(1-\sqrt{2x-1})=2\sqrt{2x-1}}$.

Do đó: A = ${\displaystyle \frac{2\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2}}=\sqrt{4x-2}}$

TH2: Nếu x ≥ 1 thì ${\displaystyle A\sqrt{2}=\sqrt{2x-1}+1-(\sqrt{2x-1}-1)=2}$

Do đó: A = ${\displaystyle \sqrt{2}}$.

* Cách 2:

Đặt ${\displaystyle \sqrt{2x-1}}$ = y ≥ 0, ta có 2x – 1 = y².

A = ${\displaystyle \frac{\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2x-2\sqrt{2x-1}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{y^2+2y+1}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{y^2-2y+1}}{\sqrt{2}}=\frac{y+1}{\sqrt{2}}-\frac{\left|y-1\right|}{\sqrt{2}}}$

TH1: Với 0 ≤ y < 1 (tức là ${\displaystyle \frac{1}{2}\le x<1}$) thì: A = ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\left(y+1+y-1\right)=\frac{2y}{\sqrt{2}}=y\sqrt{2}=\sqrt{4x-2}}$

TH2: Với y ≥ 1 (tức là x ≥ 1) thì: A = ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\left(y+1-y+1\right)=\sqrt{2}}$

* Cách 3: Xét A² ta có:

A² = ${\displaystyle (x+\sqrt{2x-1})+(x-\sqrt{2x-1})-2\left(\sqrt{(x+\sqrt{2x-1})(x-\sqrt{2x-1})}\right)}$

= ${\displaystyle 2x-2\sqrt{x^2-2x+1}=2x-2\left|x-1\right|}$.

TH1: Với ${\displaystyle \frac{1}{2}\le x<1}$ thì A² = 2x – 2(1 – x) = 4x – 2, do đó A = ${\displaystyle \sqrt{4x-2}}$.

TH2: Với x ≥ 1 thì A² = 2, do đó A = ${\displaystyle \sqrt{2}}$ (chú ý rằng A ≥ 0).

Bài tập 21: Rút gọn biểu thức:

ĐKXĐ: ${\displaystyle \{\begin{array}{l}x-1\ge 0\\ x\ge 2\sqrt{x-1}\end{array}\iff x\ge 1}$

P = ${\displaystyle \sqrt{{(\sqrt{x-1}+1)}^2}+\sqrt{{(\sqrt{x-1}-1)}^2}=\sqrt{x-1}+1+\left|\sqrt{x-1}-1\right|}$

TH1: Nếu 1 ≤ x ≤ 2 thì P = ${\displaystyle \sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1}=2}$

TH2: Nếu x > 2 thì P = ${\displaystyle 2\sqrt{x-1}}$.

Bài tập 22: Nếu 2 ≤ x < 4 thì A = ${\displaystyle 2\sqrt{2}}$. Nếu x ≥ 4 thì A = ${\displaystyle 2\sqrt{x-2}}$.

Bài tập 23:

a) A = ${\displaystyle \frac{{(x-6)}^2}{\left|5-x\right|}-\frac{x^2-36}{x-5}}$.

Do x < 5 nên 5 – x = 5 – x. Ta có:

A = ${\displaystyle \frac{{(x-6)}^2}{5-x}-\frac{x^2-36}{x-5}=\frac{x^2-12x+36+x^2-36}{5-x}=\frac{2x^2-12x}{5-x}}$.

Tại x = 4 thì A = ${\displaystyle \frac{{2.4}^2-12.4}{5-4}=-16}$

b) Với x ≥ 0 thì ${\displaystyle \sqrt{x^3+5x^2}}$ và ${\displaystyle \sqrt{x+5}}$ có nghĩa. Giá trị của biểu thức B xác định. Ta có:

B = ${\displaystyle 5x-\sqrt{125}+\frac{\sqrt{x^2}.\sqrt{x+5}}{\sqrt{x+5}}=5x-\sqrt{125}+\left|x\right|=6x-5\sqrt{5}}$ (vì x ≥ 0).

Tại x = ${\displaystyle \sqrt{5}}$ thì B = ${\displaystyle 6.\sqrt{5}-5\sqrt{5}=\sqrt{5}}$.

Bài tập 24: Rút gọn biểu thức:

a) ĐK: ${\displaystyle x\ne \pm y}$. A = ${\displaystyle \frac{2}{x^2-y^2}.\frac{\sqrt{3}.\left|x+y\right|}{2}=\frac{2\sqrt{3}\left|x+y\right|}{2(x-y)(x+y)}=\frac{\sqrt{3}\left|x+y\right|}{(x-y)(x+y)}}$

TH1: Nếu x > – y thì x + y > 0, ta có A = ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}(x+y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{\sqrt{3}}{x-y}}$

TH1: Nếu x < – y thì x + y < 0, ta có A = ${\displaystyle \frac{-\sqrt{3}(x+y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{-\sqrt{3}}{x-y}}$

b) ĐK: ${\displaystyle a\ne \frac{1}{2}}$. B = ${\displaystyle \frac{a^2\sqrt{5}.\left|1-2a\right|}{2a-1}}$

TH1: Nếu ${\displaystyle a<\frac{1}{2}}$ thì 1 – 2a > 0, ta có B = ${\displaystyle -a^2\sqrt{5}}$.

TH1: Nếu ${\displaystyle a>\frac{1}{2}}$ thì 1 – 2a < 0, ta có B = ${\displaystyle a^2\sqrt{5}}$.

Bài tập 25:

Đặt A = ${\displaystyle \sqrt{a+1}+\sqrt{a+3}}$ > 0;

B = ${\displaystyle 2\sqrt{a+2}}$ > 0.

Ta có: ${\displaystyle A^2=2a+4+2\sqrt{(a+1)(a+3)}}$

${\displaystyle A^2=2(a+2)+2\sqrt{(a+2-1)(a+2+1)}}$

${\displaystyle A^2=2(a+2)+2\sqrt{{(a+2)}^2-1}}$

${\displaystyle A^2<2(a+2)+2\sqrt{{(a+2)}^2}=4(a+2)}$ (vì a > 0)

B = 4(a + 2).

Suy ra A² < B² ⇔ A < B (vì A > 0; B > 0).

Bài tập 26: Rút gọn biểu thức:

ĐKXĐ: –1 ≤ x ≤ 1.

Áp dụng công thức “căn phức tạp” ta tính được:

${\displaystyle \sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=\sqrt{\frac{1+\sqrt{1-1+x^2}}{2}}+\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-1+x^2}}{2}}}$

= ${\displaystyle \sqrt{\frac{1+\left|x\right|}{2}}+\sqrt{\frac{1-\left|x\right|}{2}}}$

= ${\displaystyle \{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right),n\tilde{O}ux\ge 0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right),n\tilde{O}ux<0\end{array}}$

Cả hai trường hợp đều có cùng một kết quả.

${\displaystyle \sqrt{{(1+x)}^3}-\sqrt{{(1-x)}^3}=\left(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\right)\left[(1+x)+\sqrt{1-x^2}+(1-x)\right]}$

= ${\displaystyle \left(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\right)\left(2+\sqrt{1-x^2}\right)}$.

Vậy M = ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(2+\sqrt{1-x^2})}{2+\sqrt{1-x^2}}}$

M = ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\left[(1+x)-(1-x)\right]=\sqrt{2}x}$.

Bài tập 27:

a) A = ${\displaystyle \sqrt{\frac{{(x^2+3)}^2}{x^2}}+\sqrt{{(x-2)}^2}=\frac{x^2+3}{\left|x\right|}+\left|x-2\right|}$

TH1: Nếu x < 0 thì A = ${\displaystyle \frac{-x^2-3}{x}+2-x=\frac{-x^2-3+2x-x^2}{x}=\frac{-2x^2+2x-3}{x}}$

TH2: Nếu 0 < x ≤ 2 thì A = ${\displaystyle \frac{x^2+3}{x}+2-x=\frac{x^2+3+2x-x^2}{x}=\frac{2x+3}{x}}$

TH3: Nếu x > 2 thì A = ${\displaystyle \frac{x^2+3}{x}+x-2=\frac{x^2+3+x^2-2x}{x}=\frac{2x^2-2x+3}{x}}$

b) Với x ∈ ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ thì |x – 2| Î ${\displaystyle \mathbb{Z}}$, do đó để A Î ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ thì ${\displaystyle x^2+3⋮\left|x\right|}$ hay ${\displaystyle 3⋮\left|x\right|}$. Suy ra x = ±1; x = ±3.

Bài tập 28:

a) ĐK: ${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}^2-2x\ge 0\\ x\ne \pm \sqrt{x^2-2x}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x(x-2)\ge 0\\ x^2\ne x^2-2x\end{array}\iff [\begin{array}{l}x\ge 2\\ x<0\end{array}}$.

b) A = ${\displaystyle 2\sqrt{x^2-2x}}$ với điều kiện trên.

c) Giải A < 2 ta được: ${\displaystyle \sqrt{x^2-2x}<1\iff x^2-2x<1\iff {(x-1)}^2<2}$

${\displaystyle \iff -\sqrt{2}<x-1<\sqrt{2}\iff 1-\sqrt{2}<x<1+\sqrt{2}}$.

Kết hợp với điều kiện nêu ở câu a), các giá trị phải tìm của x là:

${\displaystyle 1-\sqrt{2}<x<0}$ và ${\displaystyle 2\le x<1+\sqrt{2}}$.

Bài tập 29:

a) Đặt x = ${\displaystyle 2+\sqrt{3}}$. Ta có ${\displaystyle x^2=7+4\sqrt{3}\Rightarrow x^2=7+4(x-2)\Rightarrow x^2=4x-1}$.

Phương trình ${\displaystyle x^2-4x+1=0}$ nhận ${\displaystyle 2+\sqrt{3}}$ là một nghiệm.

b) Phương trình ${\displaystyle x^2-12x+4=0}$ nhận ${\displaystyle 6-4\sqrt{2}}$ là một nghiệm.

Chú ý: Phương trình ${\displaystyle x^2-4x+1=0}$ còn có nghiệm là ${\displaystyle 2-\sqrt{3}}$.

Phương trình ${\displaystyle x^2-12x+4=0}$ còn có nghiệm là ${\displaystyle 6+4\sqrt{2}}$.

Bài tập 30^*:

a) A² = ${\displaystyle 1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{(a+1)}^2}=\frac{a^2{(a+1)}^2+{(a+1)}^2+a^2}{a^2{(a+1)}^2}}$

= ${\displaystyle \frac{a^2(a^2+2a+1+1)+{(a+1)}^2}{a^2{(a+1)}^2}=\frac{a^4+2a^2(a+1)+{(a+1)}^2}{a^2{(a+1)}^2}=}$

= ${\displaystyle \frac{{(a^2+a+1)}^2}{a^2{(a+1)}^2}={\left[\frac{a^2+a+1}{a(a+1)}\right]}^2}$.

Do a > 0 nên A > 0 và A = ${\displaystyle \frac{a^2+a+1}{a(a+1)}}$.

b) Từ câu a) suy ra: ${\displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{(a+1)}^2}}=\frac{a^2+a+1}{a(a+1)}=1+\frac{1}{a(a+1)}=1+\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}}$

Do đó: B = ${\displaystyle \left(1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\dots +\left(1+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)}$

= 99 + ${\displaystyle \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)=100-\frac{1}{100}=99,99}$

DẠNG 3: Giải phương trình

Bài tập 31: Giải phương trình:

a) Điều kiện xác định của phương trình là: ${\displaystyle x\ge -\frac{1}{2}}$

${\displaystyle \sqrt{5x^2}=2x+1}$

Suy ra ${\displaystyle 5x^2={(2x+1)}^2}$

${\displaystyle \iff 5x^2=4x^2+4x+1}$

${\displaystyle \iff x^2-4x-1=0}$

${\displaystyle \iff (x^2-4x+4)-5=0}$

${\displaystyle \iff {(x-2)}^2-{(\sqrt{5})}^2=0}$

${\displaystyle \iff (x-2+\sqrt{5})(x-2-\sqrt{5})=0}$

${\displaystyle \iff [\begin{array}{l}x-2+\sqrt{5}=0\\ x-2-\sqrt{5}=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=2-\sqrt{5}\\ x=2+\sqrt{5}\end{array}}$

Vì x = ${\displaystyle 2-\sqrt{5}}$ không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = ${\displaystyle 2+\sqrt{5}}$.

b) Điều kiện xác định của phương trình là: ${\displaystyle \{\begin{array}{l}2x-3\ge 0\\ x-1>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge 1,5\\ x>1\end{array}\iff x\ge 1,5}$

Khi đó phương trình được đưa về dạng:

${\displaystyle \frac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{x-1}}=2}$

Suy ra: ${\displaystyle \frac{2x-3}{x-1}=2^2}$

Hay      2x – 3 = 4(x – 1)

${\displaystyle \iff 2x=1\iff x=0,5}$ không thỏa mãn điều kiện x ≥ 1,5.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài tập 32: Giải phương trình:

a) Điều kiện xác định của phương trình là ${\displaystyle x\ge \frac{1}{3}}$

Biến đổi phương trình về dạng:

${\displaystyle 3x+1={(3x-1)}^2}$

${\displaystyle \iff 9x(x-1)=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=1\end{array}}$

Phương trình đã cho có nghiệm x = 1.

b) Điều kiện xác định của phương trình là: ${\displaystyle \{\begin{array}{l}3x-5\ge 0\\ x+1\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge \frac{5}{3}\\ x\ge -1\end{array}\iff x\ge \frac{5}{3}}$

Phương trình được đưa về dạng;

${\displaystyle \begin{array}{l}2+\sqrt{3x-5}=x+1\\ \iff \sqrt{3x-5}=x-1\\ \iff 3x-5=x^2-2x+1\\ \iff x^2-5x+6=0\end{array}}$

${\displaystyle \iff (x-3)(x-2)=0\iff [\begin{array}{l}x-3=0\\ x-2=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=3\\ x=2\end{array}}$, thỏa mãn điều kiện xác định.

Phương trình đã cho có nghiệm x = 2, x = 3.

c) Điều kiện xác định của phương trình là:

${\displaystyle \{\begin{array}{l}5x+7\ge 0\\ x+3>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge -\frac{7}{5}\\ x>-3\end{array}\iff x\ge -\frac{7}{5}}$

hoặc ${\displaystyle \{\begin{array}{l}5x+7\le 0\\ x+3<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\le -\frac{7}{5}\\ x<-3\end{array}\iff x<-3}$

Phương tình được đưa về dạng: ${\displaystyle \frac{5x+7}{x+3}=4^2}$

Giải phương trình này được ${\displaystyle x=-\frac{41}{11}}$ thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình đã cho có nghiệm ${\displaystyle x=-\frac{41}{11}}$.

d) Điều kiện xác định của phương trình là:

${\displaystyle \{\begin{array}{l}5x+7\ge 0\\ x+3>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge -\frac{7}{5}\\ x>-3\end{array}\iff x\ge -\frac{7}{5}}$

Khi đó phương tình đưa về dạng: ${\displaystyle \sqrt{\frac{5x+7}{x+3}}=4}$.

Theo câu c), ta có ${\displaystyle x=-\frac{41}{11}}$, nhưng không thỏa mãn điều kiện ${\displaystyle x\ge -\frac{7}{5}}$. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài tập 33: ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 1.

${\displaystyle {\left(\sqrt{x}-2\right)}^2+{\left(\sqrt{y-1}-3\right)}^2=0}$;

Đáp số: x = 4; y = 10.

Bài tập 34: ĐKXĐ: x ≥ a; y ≥ b; z ≥ c.

${\displaystyle \begin{array}{l}\sqrt{x-a}+\sqrt{y-b}+\sqrt{z-c}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\\ \iff x+y+z=2\left(\sqrt{x-a}+\sqrt{y-b}+\sqrt{z-c}\right)\\ \iff x+y+z-2\sqrt{x-a}-2\sqrt{y-b}-2\sqrt{z-c}=0\\ \iff x+y+z-(a+b+c)-2\sqrt{x-a}-2\sqrt{y-b}-2\sqrt{z-c}+3=0\\ \iff \left(x-a-2\sqrt{x-a}+1\right)+\left(y-b-2\sqrt{y-b}+1\right)+\left(z-c-2\sqrt{z-c}+1\right)=0\\ \iff {(\sqrt{x-a}-1)}^2+{(\sqrt{y-b}-1)}^2+{(\sqrt{z-c}-1)}^2=0\end{array}}$

Đáp số: x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1.

Bài tập 35: ĐKXĐ: x ≥ 1.

${\displaystyle \begin{array}{l}\sqrt{{(\sqrt{x-1}-2)}^2}+\sqrt{{(\sqrt{x-1}+3)}^2}=5\\ \left|\sqrt{x-1}-2\right|+\sqrt{x-1}+3=5\\ \left|\sqrt{x-1}-2\right|=2-\sqrt{x-1}\\ 2-\sqrt{x-1}\ge 0\\ \sqrt{x-1}\le 2\\ x\le 5\end{array}}$

Kết hợp với ĐKXĐ ta được ${\displaystyle 1\le x\le 5}$.

Bài tập 36: ${\displaystyle \sqrt{(x-2)(x-3)}+\sqrt{x+1}=\sqrt{x-2}+\sqrt{(x+1)(x-3)}}$

ĐKXĐ: x ≥ 3.

${\displaystyle \begin{array}{l}\sqrt{(x-2)(x-3)}+\sqrt{x+1}=\sqrt{x-2}+\sqrt{(x+1)(x-3)}\\ \sqrt{(x-2)(x-3)}-\sqrt{(x+1)(x-3)}=\sqrt{x-2}-\sqrt{x+1}\\ \sqrt{x-3}(\sqrt{x-2}-\sqrt{x+1})-(\sqrt{x-2}-\sqrt{x+1})=0\\ (\sqrt{x-3}-1)(\sqrt{x-2}-\sqrt{x+1})=0\\ x=4\end{array}}$