Đề thi HSG môn Toán lớp 9 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2012-2013

Bài 1:

a) Tính giá trị biểu thức: ${\displaystyle M={(x-y)}^3+3(x-y)(xy+1)}$ , biết

${\displaystyle x=\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}-\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}},y=\sqrt[3]{17+12\sqrt{2}}-\sqrt[3]{17-12\sqrt{2}}}$

b) Giải phương trình: ${\displaystyle \frac{2x}{x^2-x+1}-\frac{x}{x^2+x+1}=\frac{5}{3}}$

Bài 2:

a) Giải hệ phương trình: ${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+3=4x\text{ (1)}\\ x^3+12x+y^3=6x^2\text{+9 (2)}\end{array}}$

b) Tìm các số tự nhiên a, b, c phân biệt sao cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

${\displaystyle P=\frac{(ab-1)(bc-1)(ca-1)}{abc}}$

Bài 3: Tam giác ABC có chu vi bằng 1, các cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức:

${\displaystyle \frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}=\frac{3}{2}}$

Chứng minh tam giác ABC đều.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi D là trung điểm của cạnh BC. Lấy  M bất kỳ trên đoạn thẳng AD (M không trùng với A). Gọi N, P theo thứ tự  là hình chiếu vuông góc  của  M  xuống  các  cạnh AB, AC và H  là  hình chiếu vuông  góc  của N xuống đường thẳng PD.

a. Chứng minh AH vuông góc với BH

b. Đường thẳng qua  B song  song  với  AD cắt  đường trung trực của AB tại I

Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng.

Bài 5: Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y +z = 1.

${\displaystyle F=\frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{y^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{z^4}{(z^2+x^2)(z+x)}}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: