Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán THPT chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2013-2014

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, chuyên Toán trường THPT chuyên Nguyễn Trãi tỉnh Hải Dương năm học 2013-2014.

Câu I (2,0 điểm)

1) Phân tích đa thức $P(x)={(3x-2)}^3+{(1-2x)}^3+{(1-x)}^3$ thành nhân tử.

2) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c+\sqrt{abc}=4$. Tính giá trị của biểu thức:

$A=\sqrt{a(4-b)(4-c)}+\sqrt{b(4-c)(4-a)}+\sqrt{c(4-a)(4-b)}-\sqrt{abc}$

Câu II ( 2,0 điểm)

1) Giải phương trình $\sqrt{4-x^2}+6=2\sqrt{2+x}+3\sqrt{2-x}$.

2) Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=5\\ xy(x^2-y^2)=6\end{array}$.

Câu III (2,0 điểm)

1) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện $x^2-4xy+5y^2=2(x-y)$.

2) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho $\sqrt{1+p+p^2+p^3+p^4}$ là số hữu tỷ.

Câu IV (3,0 điểm)

Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm O. Điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

1) Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

2) Chứng minh $\text{AO}\mathrm{\perp }\text{EF}$.

3) Xác định vị trí của điểm A để chu vi của tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất.

Câu V (1,0 điểm)

Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$S=\frac{\sqrt{x^2-xy+y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{y^2-yz+z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{z^2-zx+x^2}}{z+x+2y}$