Các phương pháp so sánh 2 lũy thừa với số mũ tự nhiên

Để so sánh 2 lũy thừa với số mũ tự nhiên chúng ta cần nắm được định nghĩa, tính chất của lũy thừa và phương pháp so sánh mà Toán cấp 2 chia sẻ dưới đây.

Trước tiên các em cần nắm vững lý thuyết về lũy thừa với số mũ tự nhiên.

* Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: ${\displaystyle a^n=a.a.a.a.a\dots a}$ ( n thừa số a với a ∈ Q ).
Qui ước: ${\displaystyle a^0=1(a\ne 0)}$ và ${\displaystyle a^1=a}$.

* Các phép tính luỹ thừa:
– Nhân hai luỹ thưa cùng cơ số: ${\displaystyle a^m\cdot a^n=a^{m+n}}$ .
– Chia hai luỹ thừa cùng cơ số : ${\displaystyle a^m:a^n=a^{m-n}(a\ne 0;m\ge n)}$.
– Luỹ thừa của một tích: ${\displaystyle {(a\cdot b)}^n=a^n\cdot b^n}$.
– Luỹ thừa của một thương: ${\displaystyle {(a:b)}^n=a^n:b^n(b\ne 0)}$.
– Luỹ thừa của luỹ thừa: ${\displaystyle {\left(a^m\right)}^n=a^{m\cdot n}}$.
– Luỹ thừa tầng: ${\displaystyle {\mathbf{a}}^{{\text{m}}^{\text{n}}}={\mathbf{a}}^{\left({\text{m}}^{\text{n}}\right)}}$
Ví dụ: ${\displaystyle 3^{{\text{2}}^3}=3^8}$.
– Luỹ thừa với số mũ âm: ${\displaystyle {\text{a}}^{-\text{n}}=\frac{1}{{\text{a}}^{\text{n}}}(\text{a}\ne 0)}$

Ví dụ: ${\displaystyle {10}^{-3}=\frac{1}{{10}^3}}$

Các phương pháp so sánh 2 lũy thừa với số mũ tự nhiên

I/ Phương pháp 1: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ .

– Nếu 2 luỹ thừa cùng cơ số:

+ Khi cơ số lớn hơn 1, thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn:

${\displaystyle a^m>a^n(a>1)\Rightarrow m>n}$

+ Khi cơ số nhỏ hơn 1, thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ bé hơn:

$a^m>a^n(a<1)\Rightarrow m>n$

+ Khi cơ số bằng 1, thì hai luỹ thừa bằng nhau với mọi số mũ tự nhiên.

– Nếu 2 luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn .

${\displaystyle a^n>b^n(n>0)\Rightarrow a>b}$

II/ Phương pháp 2: So sánh thừa số riêng trong tích:
Xét: ${\displaystyle a^n}$ biến đổi được về dạng: ${\displaystyle c.{\text{d}}^k}$

${\displaystyle b^m}$ biến đổi được về dạng: ${\displaystyle e.{\text{d}}^k}$

+ Nếu ${\displaystyle c<e}$ thì ${\displaystyle c.{\text{d}}^k<e.d^k\Rightarrow a^n<b^m}$.

+ Nếu ${\displaystyle c>e}$ thì ${\displaystyle c.{\text{d}}^k>e.d^k\Rightarrow a^n>b^m}$.

III/ Phương pháp 3: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân:

Nếu ${\displaystyle A>B}$ và ${\displaystyle B>C}$ thì ${\displaystyle A>C}$

Nếu ${\displaystyle A.C<B.C}$ (với C > 0 ) ${\displaystyle \Rightarrow A<B}$

IV/ Phương pháp 4:

Xét: ${\displaystyle a^n}$ biến đổi được về dạng: ${\displaystyle c^q\cdot d^k}$

${\displaystyle b^m}$ biến đổi được về dạng: ${\displaystyle e^p\cdot q^h}$h

Nếu${\displaystyle c^q<e^p}$ và ${\displaystyle d^k<g^h}$ thì ${\displaystyle c^q\cdot d^k<e^p\cdot g^h}$.