Đề thi HSG môn Toán 9 quận Đống Đa 2018-2019

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9, phòng giáo dục và đào tạo quận Đống Đa, năm học 2018-2019. Ngày thi 3/11/2018. Thời gian: 120 phút.

Câu 1: (4 điểm)

Cho biểu thức: ${\displaystyle P=\left(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}+\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{1-\sqrt{ab}}+1\right):\left(1+\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{1-\sqrt{ab}}-\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}\right)}$

1. Rút gọn P

2. Cho ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}=6}$. Tìm GTLN của P.

Câu 2: (5 điểm)

1. Giải phương trình ${\displaystyle 2\left(x^2+2x+3\right)=5\sqrt{x^3+3x^2+3x+2}}$ với ${\displaystyle x}$ là ẩn số

2. Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn điều kiện: ${\displaystyle 2x{y}^2+x+y+1=x^2+2y^2+xy}$

Câu 3: (4 điểm)

1. Với các số thực a, b > 0 và thỏa mãn điều kiện 2a + b ≤ 3, chứng minh:

${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{a+3}}+\frac{1}{\sqrt{b+3}}\ge \frac{3}{2}}$

2. Hãy cho biết kết quả của phép tính 2¹⁰⁰ có bao nhiêu chữ số? Vì sao?

Câu 4: (6 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB), đường cao AH. Gọi D là điểm thuộc tia HC sao cho HD = HA. Đường vuông góc BC tại D cắt AC tại E.

1. Chứng minh tam giác AEB vuông cân

2. Gọi M là trung điểm của BE. Tính số đo góc AHM.

3. Gọi I là trung điểm của AH, đường vuông góc với BC tại C cắt BI tại K. Chứng minh KA = KC.

Câu 5: (1 điểm)

Chia các số 1, 2, 3, 4,…,199, 200 thành 50 nhóm. Chứng minh có ít nhất một nhóm có 3 số là số đo ba cạnh của một tam giác.