Đại số 9 – Chuyên đề 3 – Biến đổi & rút gọn căn thức bậc hai

A – LÝ THUYẾT

I . Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai:

II . Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai:

• Bước 1: Dùng các phép biến đổi đơn giản để đưa các căn thức bậc hai phức tạp thành căn thức bậc hai đơn giản.
• Bước 2: Thực hiện phép tính theo thứ tự đã biết.

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: Tính giá trị của biểu thức

Bài tập 1: Tính:

Bài tập 2: Tính:

a) A = ${\displaystyle \sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-6\sqrt{20}}}}}$;

b) B = ${\displaystyle \sqrt{6+2\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}}$;

c) C = ${\displaystyle \sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}}}$.

Bài tập 3: Thực hiện phép tính: B = ${\displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}:\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}-\frac{2}{\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2\sqrt{3}}\right)}$.

Bài tập 4: Thực hiện phép tính: A = ${\displaystyle \left(\sqrt{\frac{1+a}{1-a}}+\sqrt{\frac{1-a}{1+a}}\right):\left(\sqrt{\frac{1+a}{1-a}}-\sqrt{\frac{1-a}{1+a}}\right)}$.

Bài tập 5: Tính giá trị của biểu thức: M = ${\displaystyle \frac{(x+1)\sqrt{3}}{\sqrt{x^2-x+1}}}$ với ${\displaystyle x=2+\sqrt{3}}$.

Bài tập 6: Cho ${\displaystyle a=\frac{-1+\sqrt{2}}{2}}$, ${\displaystyle b=\frac{-1-\sqrt{2}}{2}}$. Tính ${\displaystyle a^7+b^7}$.

Bài tập 7: Cho biết: ${\displaystyle \sqrt{x^2-6x+13}-\sqrt{x^2-6x+10}=1}$.

Tính:  ${\displaystyle \sqrt{x^2-6x+13}+\sqrt{x^2-6x+10}}$.

Bài tập 8: Cho biểu thức ${\displaystyle \sqrt{x^2-6x+19}-\sqrt{x^2-6x+10}=3}$.

Tính giá trị của biểu thức: M = ${\displaystyle \sqrt{x^2-6x+19}+\sqrt{x^2-6x+10}}$.

DẠNG 2: Rút gọn biểu thức.

Bài tập 9: Trục căn thức ở mẫu: ${\displaystyle \frac{16-a^2}{2-\sqrt{a}}}$

Bài tập 10: Rút gọn biểu thức: A = ${\displaystyle \sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}$.

Bài tập 11: Rút gọn các biểu thức:

Bài tập 12: Rút gọn các biểu thức:

a) ${\displaystyle 2\sqrt{8\sqrt{3}}-2\sqrt{5\sqrt{3}}-3\sqrt{20\sqrt{3}}}$;

b) ${\displaystyle \sqrt{343a}+\sqrt{63a}-\sqrt{28a}}$ với a ≥ 0;

c) ${\displaystyle -\sqrt{36b}-\frac{1}{3}\sqrt{54b}+\frac{1}{5}\sqrt{150b}}$ với b ≥ 0.

Bài tập 13: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn (nếu có thể):

Bài tập 14: Rút gọn biểu thức: A = ${\displaystyle \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}}$.

Bài tập 15: Rút gọn các biểu thức:

Bài tập 16: Rút gọn các biểu thức:

Bài tập 17: Rút gọn các biểu thức:

a) A = ${\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3+\sqrt{5}}}+\frac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{2}-\sqrt{3-\sqrt{5}}}}$;

b) B = ${\displaystyle \left(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right){\left(\frac{1-\sqrt{a}}{1-a}\right)}^2}$;

c) C = ${\displaystyle \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{xy\sqrt{xy}}:\left[\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right).\frac{1}{x+y+2\sqrt{xy}}+\frac{2}{{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}^3}.\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right)\right]}$

với ${\displaystyle x=2-\sqrt{3}}$ và ${\displaystyle y=2+\sqrt{3}}$.

Bài tập 18: Rút gọn biểu thức: P = ${\displaystyle \frac{1-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}}}$.

Bài tập 19: Rút gọn biểu thức: Q = ${\displaystyle \frac{\sqrt{x+\sqrt{x^2-y^2}}-\sqrt{x-\sqrt{x^2-y^2}}}{\sqrt{2(x-y)}}}$ với x > y > 0.

Bài tập 20: Rút gọn biểu thức:

A = ${\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{x-1}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{x-1}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)}$ với ${\displaystyle x=\frac{a^2+b^2}{2ab}}$ và b > a > 0.

Bài tập 21: Rút gọn biểu thức: B = ${\displaystyle \frac{2a\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}-x}}$ với ${\displaystyle x=\frac{1}{2}\left(\sqrt{\frac{1-a}{a}}-\sqrt{\frac{a}{1-a}}\right)}$ và 0 < a < 1.

Bài tập 22: Rút gọn biểu thức: M = ${\displaystyle (a+b)-\sqrt{\frac{(a^2+1)(b^2+1)}{c^2+1}}}$

với a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1.

Bài tập 23: Rút gọn biểu thức: A = ${\displaystyle \frac{\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}}{\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}}.\sqrt{2x-1}}$.

Bài tập 24: Rút gọn biểu thức: A = ${\displaystyle \sqrt{1-a}+\sqrt{a(a-1)}+a\sqrt{\frac{a-1}{a}}}$.

Bài tập 25: Rút gọn biểu thức: A = ${\displaystyle \frac{x+3+2\sqrt{x^2-9}}{2x-6+\sqrt{x^2-9}}}$.

Bài tập 26: Rút gọn biểu thức: B = ${\displaystyle \frac{x^2+5x+6+x\sqrt{9-x^2}}{3x-x^2+(x+2)\sqrt{9-x^2}}}$.

Bài tập 27: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức tại x = 3.

M = ${\displaystyle \frac{\sqrt{x-2\sqrt{2}}}{\sqrt{x^2-4x\sqrt{2}+8}}-\frac{\sqrt{x+2\sqrt{2}}}{\sqrt{x^2+4x\sqrt{2}+8}}}$.

Bài tập 28: Rút gọn các biểu thức:

a) A = ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}}$;

b) B = ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1}-\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}-\dots -\frac{1}{\sqrt{24}-\sqrt{25}}}$.

Bài tập 29: Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:

a) A = ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{2c}}}$ trong đó a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện c là trung bình nhân của hai số a và b.

b) B = ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}}}$ trong đó a, b, c, d là các số dương thỏa mãn điều kiện ab = cd và a + b ≠ c + d.

DẠNG 3: Giải phương trình, bất phương trình

Bài tập 30: Giải phương trình:

Bài tập 31: Giải phương trình:

a) ${\displaystyle \sqrt{4x-12}+\sqrt{9x-27}-4\sqrt{x-3}+3-x=0}$;

b) ${\displaystyle \sqrt{25x+75}+3\sqrt{x-2}=2+4\sqrt{x+3}+\sqrt{9x-18}}$;

c) ${\displaystyle \sqrt{49x-98}-14\sqrt{\frac{x-2}{49}}=\sqrt{9x-18}+8}$;

d) ${\displaystyle \sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=\sqrt{2}}$.

Bài tập 32: Cho A = ${\displaystyle \sqrt{x^2+1}-x-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}}$ trong đó x Î ${\displaystyle \mathbb{R}}$.

Xác định x để giá trị của A là một số tự nhiên.

Bài tập 33: Tìm các số tự nhiên x, y sao cho x > y > 0 thỏa mãn điều kiện:

${\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{931}}$

Bài tập 34: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho ${\displaystyle \sqrt{n+1}-\sqrt{n}<0,05}$.

DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Bài tập 35: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: S = ${\displaystyle \sqrt{x-3}+\sqrt{y-4}}$, biết x + y = 8.

DẠNG 5: Chứng minh biểu thức

Bài tập 36: Không dùng máy tính hoặc bảng số, so sánh các số sau:

a) ${\displaystyle -3\sqrt{11}}$ và ${\displaystyle -7\sqrt{2}}$;

b) ${\displaystyle \frac{7}{2}\sqrt{\frac{1}{12}}}$ và ${\displaystyle \frac{9}{4}\sqrt{\frac{1}{5}}}$;

c) ${\displaystyle \sqrt{\frac{4}{27}}}$ và ${\displaystyle \sqrt{\frac{3}{26}}}$.

Bài tập 37: Không dùng máy tính hoặc bảng số, chứng minh rằng: ${\displaystyle 4\sqrt{5}-3\sqrt{2}<5}$.

Bài tập 38: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

a) ${\displaystyle \sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}-\sqrt{ab}\le 0}$ với a > c, b > c.

b) Nếu ${\displaystyle \sqrt{1+b}+\sqrt{1+c}\ge 2\sqrt{1+a}}$ thì b + c ≥ 2a.

Bài tập 39:

Cho biểu thức: P = ${\displaystyle \frac{\sqrt{{(x+2)}^2-8x}}{\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}}}$. Chứng minh rằng: P = ${\displaystyle \{\begin{array}{l}-\sqrt{x}khi0<x<2\\ \sqrt{x}khix>2\end{array}}$

Bài tập 40: Chứng minh rằng: ${\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{2018\sqrt{2019}}<2}$

Bài tập 41: Chứng minh rằng:

a) ${\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=9}$;

b) ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{225}}<28}$.

Bài tập 42: Chứng minh rằng A < B với:

A = ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{120}+\sqrt{121}}}$ và B = ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{35}}}$.

Bài tập 43: Chứng minh các hằng đẳng thức:

a) ${\displaystyle \sqrt{10+\sqrt{60}-\sqrt{24}-\sqrt{40}}=\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{2}}$;

b) ${\displaystyle \sqrt{6+\sqrt{24}+\sqrt{12}+\sqrt{8}}-\sqrt{3}=\sqrt{2}+1}$.

Bài tập 44: Cho A = ${\displaystyle \sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}}$.

Hãy biểu diễn A dưới dạng tổng của ba căn thức.

Bài tập 45: Chứng minh hằng đẳng thức sau với x ≥ 2:

${\displaystyle \sqrt{\sqrt{x}+\sqrt{\frac{x^2-4}{x}}}+\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{\frac{x^2-4}{x}}}=\sqrt{\frac{2x+4}{\sqrt{x}}}}$

Bài tập 46: Chứng minh rằng ${\displaystyle \frac{2\sqrt{mn}}{\sqrt{m}+\sqrt{n}+\sqrt{m+n}}=\sqrt{m}+\sqrt{n}-\sqrt{m+n}}$.

Áp dụng tính ${\displaystyle \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}}$.

Bài tập 47: Chứng minh rằng ${\displaystyle \frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}}$ với n ∈ ${\displaystyle {\mathbb{N}}^{\ast }}$.

Áp dụng tính tổng: ${\displaystyle S=\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{400\sqrt{399}+399\sqrt{400}}}$.

Bài tập 48: Tính giá trị của biểu thức:

${\displaystyle M=\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+\dots +\frac{1}{25\sqrt{24}+24\sqrt{25}}}$.

Bài tập 49: Cho a = ${\displaystyle \sqrt{2}-1}$.

a) Viết a², a³ dưới dạng ${\displaystyle \sqrt{m}-\sqrt{m-1}}$ trong đó m là số tự nhiên.

b^*) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số aⁿ viết được dưới dạng trên.

Bài tập 50: Chứng minh rằng với mọi x > 0, y > 0 và x ≠ y, giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các biến x, y.

A = ${\displaystyle \frac{x^4}{x-y}.\sqrt{\frac{1}{x^6}-\frac{2y}{x^7}+\frac{y^2}{x^8}}}$.

Bài tập 51: Cho x, y, z > 0 và khác nhau đôi một. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị của các biến.

P = ${\displaystyle \frac{x}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)}+\frac{y}{\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{x}\right)}+\frac{z}{\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{z}-\sqrt{y}\right)}}$.

Bài tập 52: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) Q = ${\displaystyle \frac{1}{x}.\left(\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}+\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}\right)}$ với x > 1.

b) R = ${\displaystyle \frac{2x}{x+3\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}+1}{x+4\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}+10}{x+5\sqrt{x}+6}}$ với x ≥ 0.

DẠNG 6: Các bài toán tổng hợp

Bài tập 53: Cho: M = ${\displaystyle \frac{\sqrt{a}+6}{\sqrt{a}+1}}$.

a) Tìm các số nguyên a để m là số nguyên;

b) Chứng minh rằng với a = ${\displaystyle \frac{4}{9}}$ thì M là số nguyên;

c) Tìm các số hữu tỉ a để M là số nguyên.

Bài tập 54: Cho biểu thức: M = ${\displaystyle \frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-2}}$.

a) Tìm các số nguyên a để m là số nguyên.

b) Tìm các số hữu tỉ a để M là số nguyên.

Bài tập 55: Cho biểu thức: C = ${\displaystyle \frac{3x+\sqrt{9x}-3}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}+2}{1-\sqrt{x}}}$.

a) Tìm điều kiện của x để C có nghĩa;

b) Rút gọn biểu thức C;

c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của C là một số nguyên.

Bài tập 56: Cho biểu thức: A = ${\displaystyle x^2-3x\sqrt{y}+2y}$.

a) Phân tích A thành nhân tử;

b) Tính giá trị của A khi ${\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{5}-2}}$, ${\displaystyle y=\frac{1}{9+4\sqrt{5}}}$.

Bài tập 57: Cho biểu thức:

P = ${\displaystyle \left(\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{3x+3}{x-9}\right):\left(\frac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}-1\right)}$ với x ≥ 0 và x ≠ 9.

a) Rút gọn P;

b) Tìm các giá trị của x để P < ${\displaystyle -\frac{1}{3}}$.

c) Tìm các giá trị của x để P có giá trị nhỏ nhất.

Bài tập 58: Cho biểu thức: Q = ${\displaystyle \frac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}}$.

a) Tìm các giá trị của x để Q có nghĩa;

b) Rút gọn Q;

c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của Q là một số nguyên.

Bài tập 59: Cho biểu thức P = ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{5}{x-\sqrt{x}-6}-\frac{\sqrt{x}-2}{3-\sqrt{x}}}$.

a) Rút gọn P;

b) Tìm giá trị lớn nhất của P.

Bài tập 60: Cho biểu thức P = ${\displaystyle \left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{1-\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{1+\sqrt{xy}}\right):\left(1+\frac{x+y+2xy}{1-xy}\right)}$.

a) Rút gọn P;

b) Tính giá trị của P với x = ${\displaystyle \frac{2}{2+\sqrt{3}}}$;

c) Tìm giá trị lớn nhất của P.

Bài tập 61: Cho P = ${\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{zx}+2\sqrt{z}+2}}$.

Biết xyz = 4, tính ${\displaystyle \sqrt{P}}$.