40 đề thi Toán tuyển sinh vào lớp 10 THPT và THPT chuyên

ĐỀ SỐ 25

Câu 1. Cho biểu thức A = $(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{x-\sqrt{x}}):(\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{2}{x-1})$ với a > 0, a ≠ 1

1) Rút gọn biểu thức A.

2) Tính giá trị của A khi $x=2\sqrt{2}+3$ .

Câu 2. Cho phương trình x2 +ax + b + 1 = 0 với a, b là tham số.

1) Giải phương trình khi a = 3 và b = -5 .

2) Tìm giá trị của a, b để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thoả mãn điều kiện: ${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}_1-x_2=3\\ x_1^3-x_2^3=9\end{array}}$ .

Câu 3. Một chiếc thuyền chạy xuôi dòng từ bến sông A đến bên sông B cách nhau 24km. Cùng lúc đó, từ A một chiếc bè trôi về B với vận tốc dòng nước là 4 km/h.  Khi về đến B thì chiếc thuyền quay  lại ngay và gặp chiếc bè tại địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của chiếc thuyền.

Câu 4. Cho đường trong (O, R) và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA  kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.

1) Chứng minh rằng các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn.

2) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.

3) Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất.

Câu 5. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn $a+b+c=\frac{1}{abc}$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P = (a + b)(a + c).