Chuyên đề: Chia đa thức – Toán lớp 8

Chuyên đề Chia đa thức là một chuyên đề thuộc chương trình Đại số 8, Toán lớp 8. Các em cần ghi nhớ lý thuyết và làm các dạng bài tập chủ đề này.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Chia đơn thức cho đơn thức

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau :
– Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.
– Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa cùng biến đó trong B.
– Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

Với mọi x  0, m, n  N, m  n ta có :

x^m : xⁿ = x^m-n (nếu m > n)

x^m : xⁿ = 1 (nếu m = n)

(x^m)ⁿ = x^m.n

x⁰ = 1   ;   1ⁿ = 1

(-x)ⁿ = xⁿ nếu n là một số chẵn

(-x)ⁿ = -xⁿ nếu n là số lẻ

(x – y)² = (y – x)²

(x – y)ⁿ = (y – x)ⁿ với n là số chẵn

2. Chia đa thức cho đơn thức

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

3. Định lý Bezout

Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất x – a là f(a)
Hệ quả : Đa thức f(x) chia hết cho nhị thức bậc nhất x – a khi và chỉ khi f(a) = 0

B. BÀI TẬP CHIA ĐA THỨC

DẠNG 1 : CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC

Bài toán 1 : Thực hiện phép tính chia đơn thức cho đơn thức.

a) 10x³y²z : (-4xy²z)                          f) ($ \displaystyle -\frac{3}{5}$xy⁵z) : ($ \displaystyle -\frac{1}{2}$xy⁴)

b) $ \displaystyle \frac{3}{2}$x²y³z⁴ : $ \displaystyle \frac{1}{4}$y²z                                   g) x³y⁴ : x³y

c) 25x⁴y⁵z³ : (-3xy²z)                        h) 18x²y²z : 6xyz

d) 5x³y²z : (-2xyz)                             i) 27x⁴y²z  : 9x⁴y

e) (-12x⁵y⁴) : (-4x²y)                         k) 5x³y : $ \displaystyle \frac{2}{3}$xy

DẠNG 2 : CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC

Bài toán 2 : Thực hiện phép tính.

a) (4x⁵ – 8x³) : (-2x³)

b) (9x³ – 12x² + 3x) : (-3x)

c) (xy² + 4x²y³ – 3x³y⁴) : (-2xy²)

d) (-3x²y³ + 4x³y⁴ – y⁴y⁵) : (-x²y³)

e) [2(x – y)³ – 7(y – x)² – (y – x)] : (x – y)

f) [3(x – y)⁵ – 2(x – y)⁴ + 3(x – y)²] : [5(x – y)²]

DẠNG 3 : CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC

Bài toán 3 : Thực hiện phép chia.

a) (2x³ – 5x² – x + 1) : (2x + 1)

b) (x³ – 2x + 4) : (x + 2)

c) (6x³ – 19x² + 23x – 12) : (2x – 3)

d) (x⁴ – 2x³ – 1 + 2x) : (x² – 1)

e) (6x³ – 5x² + 4x – 1) : (2x² – x + 1)

f) (x⁴ – 5x² + 4) : (x² – 3x + 2)

g) ( x³ – 2x² – 5x + 6 ) : ( x + 2 )

h) ( x³ – 2x² + 5x + 8) : ( x + 1 )

DẠNG 4 : TÌM THƯƠNG VÀ DƯ TRONG PHÉP CHIA ĐA THỨC

Bài toán 4 : Tìm thương Q và dư R sao cho A = B.Q + R biết.

a) A = x⁴ + 3x³ + 2x² – x – 4 và B = x² – 2x + 3

b) A = 2x³ – 3x² + 6x – 4 và B = x² – x + 3

c) A = 2x⁴ + x³ + 3x² + 4x + 9 và B = x² + 1

d) A = 2x³ – 11x² + 19x – 6 và B = x² – 3x + 1

e) A = 2x⁴ – x³ – x² – x + 1 và B = x² + 1

Phương pháp giải : Từ điều kiện đề bài trên, ta đặt phép chia A : B được kết quả là thương Q và dư R.

DẠNG 5 : TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA m ĐỂ ĐA THỨC A CHIA HẾT CHO ĐA THỨC B

Ví dụ : Tìm giá trị nguyên của n để giá trị biểu thức 4n³ – 4n² – n + 4 chia hết cho giá trị của biểu thức 2n + 1.

Giải :

Thực hiện phép chia 4n³ – 4n² – n + 4 cho 2n + 1, ta được :

4n³ – 4n² – n + 4 = (2n + 1).(n² + 1) + 3

Từ đó, để có phép chia hết điều kiện là 3 chia hết cho 2n + 1, tức là cần tìm giá trị nguyên của n để 2n + 1 là ước của 3, ta được :

2n + 1 = 3  n = 1

2n + 1 = 1  n = 0

2n + 1 = -3  n = -2

2n + 1 = -1  n = -1

Vậy n =  1, n = 0, n = 2 thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Bài toán 5 : Tìm m sao cho đa thức A chia hết cho đa thức B biết.

a) A = 8x² – 26x + m và B = 2x – 3

b) A = x³ + 4x² + 4x + m và B = x + 3

c) A = x³ – 13x + m và B = x² + 4x + 3

d) A = x⁴ + 5x³ – x² – 17x + m + 4 và B = x² + 2x – 3

e) A = 2x⁴ + mx³ – mx – 2 và B = x² – 1

Bài toán 6 : Cho các đa thức sau:

A = x3 + 4×2 + 3x – 7

B = x + 4

a) Tính A : B

b) Tìm x ∈ Z sao cho A chia hết cho B

Bài toán 7 : Tìm x, biết.

a) (8x² – 4x) : (-4x) – (x + 2) = 8

b) (2x⁴ – 3x³ + x²) : (-x²) + 4(x – 1)² = 0

Bài toán 8 : Tìm giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B biết.

a) A = 8n² – 4n + 1 và B = 2n + 1

b) A = 3n³ + 8n² – 15n + 6 và B = 3n – 1

c) A = 4n³ – 2n² – 6n + 5 và B = 2n – 1

DẠNG 6 : ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ Bezout

Bài toán 9 : Không làm phép chia hãy tìm số dư khi :

a) Khi f(x) = x³ + 2x² – 4x + 3 chia cho x – 2

b) Khi f(x) = x⁴ – 3x² + 2x – 1 chia cho x + 1

c) Khi f(x) = x³ – 3x² + 4x – 5 chia cho x – 2

d) Khi f(x) = x²⁷ + x⁹ + x³ + x chia cho x – 1

Bài toán 10 : Chứng minh :

a) x⁵⁰ + x¹⁰ + 1 chia hết cho x²⁰ + x¹⁰ + 1

b) x²⁰¹² + x²⁰⁰⁸ + 1 chia hết cho x² + x + 1