Đại số 7 – Chuyên đề 6 – Biểu thức đại số

A. LÝ THUYẾT

1. Khái niệm biểu thức đại số

Ví dụ: Biểu thức đại số biểu thị trung bình cộng của hai số a và b là: $ \frac{{a+b}}{2}$

Biểu thức đại số biểu thị lập phương của tổng hai số a và b là: $ {{\left( {a+b} \right)}^{3}}$

2. Giá trị của một biểu thức đại số

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức $ {{x}^{2}}{{y}^{3}}+xy$ tại $ x=1$ và $ y=\frac{1}{2}$

Giải

Thay $ x=1$ và $ y=\frac{1}{2}$ vào biểu thức $ {{x}^{2}}{{y}^{3}}+xy$, ta có:

$ {{1}^{2}}.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{3}}+1.\frac{1}{2}=\frac{5}{8}$

3. Đơn thức

Ví dụ: 1; $ -\frac{3}{4}{{x}^{2}}y\left( {-7x} \right)$; 2xy;…

4. Đơn thức thu gọn

Ví dụ: Thu gọn đơn thức $ -\frac{1}{5}{{x}^{3}}{{y}^{2}}\frac{5}{4}x{{y}^{3}}=\left( {-\frac{1}{5}.\frac{5}{4}} \right)\left( {{{x}^{3}}x} \right)\left( {{{y}^{2}}{{y}^{3}}} \right)=-\frac{1}{4}{{x}^{4}}{{y}^{5}}$

– Hệ số: $ -\frac{1}{4}$

– Phần biến: $ {{x}^{4}}{{y}^{5}}$

– Bậc của đơn thức: 9

5. Đơn thức đồng dạng

Ví dụ: Các đơn thức $ \frac{5}{3}{{x}^{2}}y;$ $ -\frac{1}{2}{{x}^{2}}y;$ $ {{x}^{2}}y;$ $ 5{{x}^{2}}y$ là các đơn thức đồng dạng.

6. Cộng, trừ đơn thức đồng dạng

Ví dụ: Tính $ 25x{{y}^{2}}+55x{{y}^{2}}+75x{{y}^{2}}-35x{{y}^{2}}$

Giải

$ \begin{array}{l}25x{{y}^{2}}+55x{{y}^{2}}+75x{{y}^{2}}-35x{{y}^{2}}\\=\left( {25+55+75-35} \right)x{{y}^{2}}\\=120x{{y}^{2}}\end{array}$

7. Đa thức

Ví dụ: $ {{x}^{3}}-3;$ $ xyz-a{{x}^{2}}+by$; $ a\left( {3xy+7x} \right)$ là các đơn thức.

8. Thu gọn đa thức

Ví dụ: Thu gọn đa thức $ P=\frac{1}{3}{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}-xy+\frac{1}{2}x{{y}^{2}}-5xy-\frac{1}{3}{{x}^{2}}y$

Giải

$ \begin{array}{l}P=\frac{1}{3}{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}-xy+\frac{1}{2}x{{y}^{2}}-5xy-\frac{1}{3}{{x}^{2}}y\\=\left( {\frac{1}{3}{{x}^{2}}y-\frac{1}{3}{{x}^{2}}y} \right)+\left( {x{{y}^{2}}+\frac{1}{2}x{{y}^{2}}} \right)+\left( {-xy-5xy} \right)\\=\frac{3}{2}x{{y}^{2}}-6xy\end{array}$

9. Bậc của đa thức

Ví dụ: Đa thức $ {{x}^{6}}-2{{y}^{5}}+{{x}^{4}}{{y}^{5}}+1$ có bậc là 9.

Đa thức $ \frac{3}{2}x{{y}^{2}}-6xy$ có bậc là 3.

10. Cộng, trừ đa thức

Ví dụ: Tính $ \displaystyle \left( {2,4{{x}^{2}}+1,7{{y}^{2}}+2xy} \right)-\left( {0,4{{x}^{2}}-1,3{{y}^{2}}+xy} \right)$

Giải

$ \displaystyle \begin{array}{l}\left( {2,4{{x}^{2}}+1,7{{y}^{2}}+2xy} \right)-\left( {0,4{{x}^{2}}-1,3{{y}^{2}}+xy} \right)\\=2,4{{x}^{2}}+1,7{{y}^{2}}+2xy-0,4{{x}^{2}}+1,3{{y}^{2}}-xy\\=\left( {2,4{{x}^{2}}-0,4{{x}^{2}}} \right)+\left( {1,7{{y}^{2}}+1,3{{y}^{2}}} \right)+\left( {2xy-xy} \right)\\=2{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+xy\end{array}$

11. Đa thức một biến

Ví dụ: Đa thức $ 3{{x}^{5}}+{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$ là đa thức một biến (biến x); bậc của đa thức là: 5

12. Sắp xếp đa thức

Ví dụ: Cho đa thức $ P(x)=2+5{{x}^{2}}-3{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-2x-{{x}^{3}}+6{{x}^{5}}$. Thu gon và sắp xếp đa thức P(x)

Giải:

$ \begin{array}{l}P(x)=2+5{{x}^{2}}-3{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-2x-{{x}^{3}}+6{{x}^{5}}\\=6{{x}^{5}}+\left( {-3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}} \right)+\left( {5{{x}^{2}}+4{{x}^{2}}} \right)-2x+2\\=6{{x}^{5}}-4{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-2x+2\end{array}$

13. Hệ số

Ví dụ: Các hệ số của đa thức $ 6{{x}^{5}}-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-2x+2$ là: 6; – 1; 6; – 2; 2

Hệ số tự do là: 2

Hệ số cao nhất là: 6

14. Cộng, trừ đa thức một biến

Ví dụ: Cho hai đa thức  $ P(x)={{x}^{5}}-2{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-x+1$

$ Q(x)=6-2x+3{{x}^{3}}+{{x}^{4}}-3{{x}^{5}}$

Tính P(x) – Q(x)?

Giải

$ \begin{array}{l}P(x)-Q(x)=\left( {{{x}^{5}}-2{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-x+1} \right)-\left( {6-2x+3{{x}^{3}}+{{x}^{4}}-3{{x}^{5}}} \right)\\={{x}^{5}}-2{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-x+1-6+2x-3{{x}^{3}}-{{x}^{4}}+3{{x}^{5}}\\=4{{x}^{5}}-3{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x-5.\end{array}$

15. Nghiệm của đa thức một biến

Ví dụ: Tìm nghiệm của đa thức $ P(y)=2y+6$

Giải

Từ $ 2y+6=0\Rightarrow 2y=-6\Rightarrow y=-\frac{6}{2}=-3$

Vậy nghiệm của đa thức $ P(y)$ là – 3.

B. BÀI TẬP

Bài toán 1: Viết các biểu thức đại số biểu thị

Bài toán 2: Nam mua 10 quyển vở mỗi quyển giá x đồng và hai bút bi, mỗi chiếc giá y đồng. Hỏi Nam phải trả tất cả bao nhiêu tiền?

Bài toán 3: Tính giá trị của biểu thức

Bài toán 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

Bài toán 5: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

1. $ \sqrt{2}-{{x}^{2}}$

2. $ 10-{{\left( {{{y}^{2}}-25} \right)}^{4}}$

3. $ -{{\left( {x-\sqrt{3}} \right)}^{2}}+1$

4. $ -\left| {x+\sqrt{5}} \right|+2$

Bài toán 6: Thu gọn các đơn thức sau

Bài toán 7: Cho các đơn thức sau, với a, b là hằng số, x, y, z là biến số

$ 13x\left( {-2x{{y}^{2}}} \right)\left( {x{{y}^{3}}{{z}^{3}}} \right);$ $ \frac{1}{2}a{{x}^{2}}{{y}^{2}}\left( {-\frac{1}{3}ab{{x}^{3}}{{y}^{2}}} \right)$

a) Thu gọn các đơn thức trên

b) Xác định hệ số của mỗi đơn thức

c) Xác định bậc của đơn thức.

Bài toán 8: Tìm các đơn thức đồng dạng với nhau trong các đơn thức sau:

Bài toán 9: Thu gọn các đơn thức đồng dạng

1. $ -3{{x}^{2}}-0,5{{x}^{2}}+2,5{{x}^{2}}$

2. $ -\frac{3}{4}{{x}^{3}}y+\left( {-\frac{1}{2}{{x}^{3}}y} \right)-\left( {-\frac{5}{8}{{x}^{3}}y} \right)$

3. $ 4ab.\frac{1}{3}ac-2aca-9{{a}^{2}}.\frac{1}{2}b+10{{a}^{2}}.\frac{1}{5}c+{{a}^{2}}b-{{a}^{2}}bc$

4. $ 15{{x}^{4}}+7{{x}^{4}}+\left( {-20{{x}^{2}}} \right){{x}^{2}}$

5. $ 2ab-2bc.c+ab+\frac{1}{2}{{c}^{2}}b-4c{{b}^{2}}+2cb.b$

6. $ 23{{x}^{3}}{{y}^{3}}+17{{x}^{3}}{{y}^{3}}+\left( {-50{{x}^{3}}} \right){{y}^{3}}$

7. $ {{\left( {\frac{2}{3}ac} \right)}^{2}}.{{c}^{2}}-\frac{2}{5}a{{\left( {c.c} \right)}^{2}}+\frac{2}{3}a{{c}^{3}}c-\frac{1}{4}a{{c}^{4}}$

Bài toán 11: Chứng minh các đẳng thức sau:Bài toán 10: Viết đơn thức $ 3{{x}^{{n+3}}}{{y}^{{m-2}}}$ dưới dạng tích của hai đơn thức trong đó một đơn thức bằng $ \frac{2}{5}{{x}^{n}}{{y}^{2}}$.

1. $ {{\left[ {-{{a}^{5}}.{{{\left( {-a} \right)}}^{5}}} \right]}^{2}}+{{\left[ {-{{a}^{2}}.{{{\left( {-a} \right)}}^{2}}} \right]}^{5}}=0$

2. $ {{\left( {-1} \right)}^{n}}.{{a}^{{n+k}}}={{\left( {-a} \right)}^{n}}.{{a}^{k}}$

Bài toán 12: Tính

Bài toán 13: Tìm đa thức M sao cho tổng của M và đa thức $ {{x}^{2}}+3{{x}^{2}}y-5x{{y}^{2}}-7xy-2$ là một đa thức bậc 0.

Bài toán 14: Nếu $ 2x+y+1=6$ thì $ 4x+2y-1$ bằng:

A. 9                           B. 10                           C. 11                              D. 12                              E. 13

Bài toán 15: Cho hai đa thức $ P=5{{x}^{2}}+6xy-{{y}^{2}}$ và $ Q=2{{y}^{2}}-2{{x}^{2}}-6xy$. Chứng minh rằng không tồn tại giá trị nào của x và y để hai đa thức P và Q cùng có giá trị âm.

Bài toán 16: Sắp xếp các hạng tử của các đa thức sau theo lũy thừa giảm của biến và tìm bậc của đa thức:

1. $ 1-6{{x}^{7}}+5{{x}^{4}}-2+13{{x}^{5}}-8{{x}^{7}}$

2. $ 4{{x}^{5}}+3x-2{{x}^{2}}-{{x}^{5}}+4{{x}^{2}}-8$

3. $ 2-9{{x}^{2}}+4{{x}^{5}}-3{{x}^{3}}+x-4{{x}^{5}}$

4. $ 3{{x}^{2}}-2x+7+2x-3{{x}^{2}}-6$

5. $ -3{{x}^{2}}+5{{x}^{6}}$

Bài toán 17: Tính hiệu $ f\left( x \right)-g\left( x \right)$ rồi sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến

1. $ f\left( x \right)={{x}^{5}}-3{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-5;$ $ g\left( x \right)=2{{x}^{4}}+7{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+6$

2. $ f\left( x \right)=5{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x-1;$ $ g\left( x \right)=-{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4x+5$

3. $ f\left( x \right)=3{{x}^{6}}-5{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-7;$ $ g\left( x \right)=8{{x}^{6}}+7{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+11$

4. $ f\left( x \right)={{x}^{2}}+x+1;$ $ g\left( x \right)=4-2{{x}^{3}}+{{x}^{4}}+7{{x}^{5}}$

5. $ f\left( x \right)={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+6{{x}^{3}}+2x-1;$ $ g\left( x \right)=3+x$

Bài toán 18: Cho hai đa thức:

$ f\left( x \right)=8-{{x}^{5}}+4x-2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-7{{x}^{4}}$

$ g\left( x \right)={{x}^{5}}-8+3{{x}^{2}}+7{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-3x$

a) Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến;

b) Tính tổng $ h\left( x \right)=f\left( x \right)+g\left( x \right)$ và hiệu $ p\left( x \right)=f\left( x \right)-g\left( x \right)$;

c) Tìm nghiệm của đa thức h(x).

Bài toán 19: Cho hai đa thức:

$ P(x)=2{{x}^{3}}-3x+{{x}^{5}}-4{{x}^{3}}+4x-{{x}^{5}}+{{x}^{2}}-2$

$ Q(x)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x+1+2{{x}^{2}}$

a. Thu gọn và sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến;
b. Tính $ P\left( x \right)+Q\left( x \right);$ $ P\left( x \right)-Q\left( x \right)$;
c. Gọi $ M(x)=P\left( x \right)+Q\left( x \right).$ Tìm bậc của M(x).

Bài toán 20: Cho hai đa thức:

$ P\left( x \right)=-6{{x}^{5}}-4{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-2x$

$ Q(x)=2{{x}^{5}}-4{{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x-3$

a) Tính $ P\left( x \right)+Q\left( x \right);$

b) Tính $ P\left( x \right)-Q\left( x \right)$;

c) Gọi $ M(x)=~P\left( x \right)-Q\left( x \right).$ Tính $ M(-1)$.

Bài toán 21: Cho đa thức . Chứng minh rằng đa thức P(x) không có nghiệm.

Bài toán 22:

a) Chứng tỏ $ x=-5$ là nghiệm của đa thức $ f\left( x \right)={{x}^{2}}+6x+5$
b) Chứng tỏ $ x=3$ là nghiệm của đa thức $ g\left( x \right)={{x}^{2}}-4x+3$
c) Tìm nghiệm của đa thức $ M\left( x \right)=\left( {x-1} \right)\left( {x+3} \right)$

Bài toán 23: Tìm một nghiêm của đa thức:

1. $ P(x)=2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-5x-1$

2. $ Q(x)=\frac{2}{3}{{x}^{3}}+\frac{3}{4}{{x}^{2}}+\frac{4}{5}x-2\frac{{13}}{{60}}$

3. $ R(x)=4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+9x+7$