Đại số 8 – Chuyên đề 4 – Chia đa thức

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Chia đơn thức cho đơn thức

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau :

–         Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.

–         Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa cùng biến đó trong B.

–         Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

    Với mọi x ≠ 0, m, n ∈ N, m ≥ n ta có :

xm : xn = xm-n (nếu m > n)

xm : xn = 1 (nếu m = n)

(xm)n = xm.n

x0 = 1   ;   1n = 1

(-x)n = xn nếu n là một số chẵn

(-x)n = -xn nếu n là số lẻ

(x – y)2 = (y – x)2

(x – y)n = (y – x)n với n là số chẵn

2. Chia đa thức cho đơn thức

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

3. Định lý Bezout

Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất

x – a là f(a)

Hệ quả : Đa thức f(x) chia hết cho nhị thức bậc nhất x – a khi và chỉ khi

f(a) = 0

B. BÀI TẬP

DẠNG 1 : CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC

Bài toán 1 : Thực hiện phép tính chia đơn thức cho đơn thức.

a) 10x3y2z : (-4xy2z)

b) \displaystylex2y3z4 : \displaystyley2z

c) 25x4y5z3 : (-3xy2z)

d) 5x3y2z : (-2xyz)

e) (-12x5y4) : (-4x2y)

f) (-\displaystylexy5z) : (-\displaystylexy4)

g) x3y4 : x3y

h) 18x2y2z : 6xyz

k) 27x4y2z  : 9x4y

m) 5x3y : \displaystylexy

DẠNG 2 : CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC

Bài toán 2 : Thực hiện phép tính.

a) (4x5 – 8x3) : (-2x3)

b) (9x3 – 12x2 + 3x) : (-3x)

c) (xy2 + 4x2y3 – 3x3y4) : (-2xy2)

d) (-3x2y3 + 4x3y4 – y4y5) : (-\displaystylex2y3)

e) [2(x – y)3 – 7(y – x)2 – (y – x)] : (x – y)

f) [3(x – y)5 – 2(x – y)4 + 3(x – y)2] : [5(x – y)2]

DẠNG 3 : CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC

Bài toán 3 : Thực hiện phép chia.

a) (2x3 – 5x2 – x + 1) : (2x + 1)

b) (x3 – 2x + 4) : (x + 2)

c) (6x3 – 19x2 + 23x – 12) : (2x – 3)

d) (x4 – 2x3 – 1 + 2x) : (x2 – 1)

e) (6x3 – 5x2 + 4x – 1) : (2x2 – x + 1)

f) (x4 – 5x2 + 4) : (x2 – 3x + 2)

g) ( x3 – 2x2 – 5x + 6 ) : ( x + 2 )

h) ( x3 – 2x2 + 5x + 8) : ( x + 1 )

DẠNG 4 : TÌM THƯƠNG VÀ DƯ TRONG PHÉP CHIA ĐA THỨC

Bài toán 4 : Tìm thương Q và dư R sao cho A = B.Q + R biết.

a) A = x4 + 3x3 + 2x2 – x – 4 và B = x2 – 2x + 3

b) A = 2x3 – 3x2 + 6x – 4 và B = x2 – x + 3

c) A = 2x4 + x3 + 3x2 + 4x + 9 và B = x2 + 1

d) A = 2x3 – 11x2 + 19x – 6 và B = x2 – 3x + 1

e) A = 2x4 – x3 – x2 – x + 1 và B = x2 + 1

Phương pháp giải : Từ điều kiện đề bài trên, ta đặt phép chia A : B được kết quả là thương Q và dư R.

DẠNG 5 : TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA m ĐỂ ĐA THỨC A CHIA HẾT CHO ĐA THỨC B

Ví dụ : Tìm giá trị nguyên của n để giá trị biểu thức 4n3 – 4n2 – n + 4 chia hết cho giá trị của biểu thức 2n + 1.

Giải :

Thực hiện phép chia 4n3 – 4n2 – n + 4 cho 2n + 1, ta được :

4n3 – 4n2 – n + 4 = (2n + 1).(n2 + 1) + 3

Từ đó, để có phép chia hết điều kiện là 3 chia hết cho 2n + 1, tức là cần tìm giá trị nguyên của n để 2n + 1 là ước của 3, ta được :

2n + 1 = 3  n = 1

2n + 1 = 1  n = 0

2n + 1 = -3  n = -2

2n + 1 = -1  n = -1

Vậy n =  1, n = 0, n = 2 thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Bài toán 5 : Tìm m sao cho đa thức A chia hết cho đa thức B biết.

a) A = 8x2 – 26x + m và B = 2x – 3

b) A = x3 + 4x2 + 4x + m và B = x + 3

c) A = x3 – 13x + m và B = x2 + 4x + 3

d) A = x4 + 5x3 – x2 – 17x + m + 4 và B = x2 + 2x – 3

e) A = 2x4 + mx3 – mx – 2 và B = x2 – 1

Bài toán 6 : Cho các đa thức sau:

A = x3 + 4×2 + 3x – 7

B = x + 4

a) Tính A : B

b) Tìm x Z sao cho A chia hết cho B

Bài toán 7 : Tìm x, biết.

a) (8x2 – 4x) : (-4x) – (x + 2) = 8

b) (2x4 – 3x3 + x2) : (-\displaystylex2) + 4(x – 1)2 = 0

Bài toán 8 : Tìm giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B biết.

a) A = 8n2 – 4n + 1 và B = 2n + 1

b) A = 3n3 + 8n2 – 15n + 6 và B = 3n – 1

c) A = 4n3 – 2n2 – 6n + 5 và B = 2n – 1

DẠNG 6 : ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ Bezout

Bài toán 9 : Không làm phép chia hãy tìm số dư khi :

a) Khi f(x) = x3 + 2x2 – 4x + 3 chia cho x – 2

b) Khi f(x) = x4 – 3x2 + 2x – 1 chia cho x + 1

c) Khi f(x) = x3 – 3x2 + 4x – 5 chia cho x – 2

d) Khi f(x) = x27 + x9 + x3 + x chia cho x – 1

Bài toán 10 : Chứng minh :

a) x50 + x10 + 1 chia hết cho x20 + x10 + 1

b) x2012 + x2008 + 1 chia hết cho x2 + x + 1

Bài cùng series:<< Đại số 8 – Chuyên đề 3 – Phân tích đa thức thành nhân tửĐại số 8 – Chuyên đề 6 – Phương trình bậc nhất một ẩn >>

Toán cấp 2 © 2012 Toán cấp 2