Bài 91: Cho đường tròn (O; R) và điểm A cách O một khoảng bằng 2R, kẻ tiếp tuyến AB tới đường tròn (B là tiếp điểm)
- Tính số đo các góc của tam giác OAB
- Gọi C là điểm đối xứng với B qua OA. Chứng minh điểm C nằm trên đường tròn O và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
- AO cắt đường tròn (O) tại G. Chứng minh G là trọng tâm tam giác ABC
Bài 92: Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng xy tại A. Trên tia Oz song song với đường thẳng xy lấy điểm I. Từ I vẽ các tiếp tuyến với (O) cắt xy tại E và F
- Chứng minh: I là tâm đường tròn ngoại tiếp $ \displaystyle \Delta OEF$
- Cho $ OI=R\sqrt{2}$, tính chu vi $ \Delta IEF$
Bài 93: Cho đường tròn (O; R) nội tiếp $ \Delta ABC$. Gọi M, N, P lần lượt là tiếp điểm của AB, AC, BC với (O). Chứng minh rằng: $ {{P}_{{\Delta ABC}}}=2(AM+BP+NC)$
Bài 94: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho $ \widehat{{CAB}}={{30}^{o}}$. Trên tia đối của tia BA, lấy điểm M sao cho BM = R. Chứng minh rằng:
- MC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
- $ M{{C}^{2}}=3{{R}^{2}}$
Bài 95: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Từ trung điểm I của bán kính OB vẽ dây cung CD vuông góc với OB.
- So sánh IC và ID
- Tiếp tuyến tại C của (O) cắt đường thẳng AB tại M. Chứng minh:
- $ \Delta COM=\Delta DOM$
- MD là tiếp tuyến của (O)
- Tính độ dài đoạn MC theo R.
Bài 96: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Lấy điểm $ M\in (O)$. Gọi P và Q theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB và tiếp tuyến Ax của (O), gọi I là trung điểm của PQ.
- Chứng minh: A, I, M thẳng hàng. Suy ra I thuộc một đường tròn cố định và tính theo R bán kính của đường tròn này.
- Tiếp tuyến tại M của (O) cắt tiếp tuyến Ax ở N. Chứng minh: O, I, N thẳng hàng và MA là phân giác các góc OMQ, NMP
- Đường trung trực của đường kính AB cắt MB tại K. Chứng minh: NK = R
Xác định vị trí của M để $ \Delta AMN$ đều
Bài 97: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Lấy điểm C ngoài đường tròn sao cho B là trung điểm của OC. Từ C vẽ hai tiếp tuyến CM và CN đến đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm)
- Chứng minh: $ \Delta AMN$ là tam giác cân. Tính CM và AM theo R.
- Chứng minh: tứ giác AMCN là hình thoi. Tính $ {{S}_{{AMCN}}}$ theo R
- Gọi I là trung điểm của CM, AI cắt OM tại K. Chứng minh: K là trung điểm của AI.
- Tính diện tích $ \Delta AKB$ theo R.
Bài 98: Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB. Qua M, N lần lượt vẽ các dây CD và EF song song với nhau (C và E cùng nằm trên một nửa đường tròn đường kính AB)
- Chứng minh tứ giác CDEF là hình chữ nhật.
- Giả sử CD và EF cùng tạo với AB một góc nhọn $ {{30}^{o}}$. Tính diện tích hình chữ nhật CDEF
Bài 99: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dãy CD vuông góc với AB. Lấy điểm E đối xứng với A qua M.
- Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?
- Giả sử $ R=6,5cm,MA=4cm$. Tính CD
- Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên CA và CB. Chứng minh: $ MH.MK=\frac{{M{{C}^{3}}}}{{2R}}$
Bài 100: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Từ A và B vẽ tiếp tuyến Ax và By. Lấy điểm M trên (O), vẽ tiếp tuyến thứ ba tại M cắt Ax, By lần lượt tại C và D
- Chứng minh: CD = AC + BD
- Chứng minh $ \widehat{{COD}}={{90}^{o}}$ và tích AC.BD không thay đổi khi M di chuyển trên (O)
- CD cắt AB tại E. Tính ME nếu $ \widehat{{MAB}}={{60}^{o}}$
- Tìm vị trí của M trên (O) để tổng AC, BD đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 101: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và dây AC = R. Vẽ đường kính CD của (O).
- Tính theo R độ dài đoạn AD và $ {{S}_{{\Delta ACD}}}$
- Gọi xy là tiếp tuyến tại B của (O). Tia AC và AD cắt xy tại E và F. Gọi M là trung điểm của EF, đường thẳng (d) qua C và song song với AM. Đoạn thẳng AM cắt CD tại I. Chứng minh (d) tiếp xúc (O)
- Chứng minh: 4 điểm I, O, M, B cùng thuộc một đường tròn
Bài 102: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và 1 điểm C nằm trên đường tròn. Đường thẳng song song với AC kẻ từ O cắt tiếp tuyến tại C của (O) tại D. Chứng minh:
- $ \widehat{{COD}}=\widehat{{BOD}}$
- DB cũng là tiếp tuyến tại B của (O)
- $ AC.OD=2{{R}^{2}}$
Bài 103: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và (d) là tiếp tuyến của (O) tại A. M là điểm di động trên (d). Kẻ tiếp tuyến MC đến (O) (C là tiếp điểm khác A). Tia BC cắt (d) tại K và kẻ CH vuông góc với AB tại H.
- Chứng minh: OM // BK
- BM cắt CH tại I. Chứng minh: I là trung điểm của CH
- Gọi N là trực tâm của $ \Delta AMC$. Chứng minh: tứ giác AOCN là hình bình hành. Từ đó suy ra N di động trên đường cố định, chỉ rõ đường cố định đó ?
- Cho OM = 2R. Chứng minh: $ \Delta AMC$ đều và tính AM, $ {{S}_{{\Delta AMC}}}$ theo R.
Bài 104: Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB, AC và BD là hai dây cung song song với nhau.
- Chứng minh: AC = BD, suy ra CD là đường kính của (O)
- Chứng tỏ ACBD là hình chữ nhật
- Chứng tỏ rằng nếu dây cung $ AC=R\sqrt{2}$ thì ACBD là hình vuông và ngược lại.
- Tính diện tích ACBD trong trường hợp $ \widehat{{BAC}}={{30}^{o}}$
Bài 105: Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB, gọi (I) là đường tròn tâm I, đường kính OA.
- Chứng tỏ (O) là (I) tiếp xúc trong nhau.
- Cho C là điểm bất kì $ \in (O)$ (C khác A, B), AC cắt (I) tại K. Chứng minh
- $ \Delta ABC$ và $ \displaystyle \Delta AOK$ vuông
- K là trung điểm của AC và OK = BC/2
- $ \Delta IOK$ và $ \Delta OBC$ đồng dạng.
- Gọi EF là đường kính của (O) qua K, chứng tỏ B, C, E, F là 4 đỉnh của hình thang cân.
- Cho $ \widehat{{BOC}}={{60}^{o}}$. Tính các cạnh, diện tích của $ \Delta ABC$ và của hình thang cân BCEF.
Bài 106: Cho đường tròn (O; 5cm) có đường kính AB và dây cung CD. Kéo dài AB và CD cắt nhau tại M. Gọi N là trung điểm của dây cung CD.
- Chứng minh: $ \Delta MNO$ là tam giác vuông
- Tiếp tuyến tại B của (O) cắt đường thẳng CD tại Q. Chứng minh:
MN.MQ = MO.MB
- Tia ON cắt (O) tại E. Tính độ dài dây cung EC nếu độ dài dây cung CD = 6cm
Bài 107: Cho đường tròn (O; 3cm) và điểm A có OA = 6cm. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.
- Tính độ dài OH
- Qua điểm M bất kì thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB và AC theo thứ tự tại D và E. Tính chu vi tam giác ADE.
- Tính số đo góc $ \widehat{{DOE}}$
Bài 108: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc vơi MP và cắt đường thẳng (d’) ở N.
- Chứng minh OM = OP và $ \Delta NMP$ cân
- Hạ $ OI\bot MN$. Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến của (O)
- Chứng minh AM.BN = $ {{R}^{2}}$
- Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ nhất. Vẽ hình minh họa.
Bài 109: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và một điểm M trên đường tròn (M khác A và B). Tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt tiếp tuyến tại M theo thứ tự ở C và D
- Chứng tỏ ACDB là hình thang vuông
- Chứng tỏ AM // OD
- AM cắt OC tại E và BM cắt OD tại F. Chứng tỏ: OE.OC = OF.OD
- Biết $ \widehat{{MAB}}={{60}^{o}}$ Tính theo R diện tích tứ giác OMDB
- Biết $ x=\widehat{{MBA}}={{30}^{o}}$. Tính $ \cos x,\tan x,\cot x$
Bài 110: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B và C là hai tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến này cắt AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng
- Chu vi $ \Delta MPQ$ không phụ thuộc vào vị trí điểm M
- $ \widehat{{BOC}}=2\widehat{{DOE}}$
- $ DE<\frac{1}{2}(AB+AC)$