Đề kiểm tra lần 4 môn Toán lớp 9 trường THCS ARCHIMEDES ACADEMY năm học 2018-2019. Thời gian làm bài 135 phút.
Bài 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC:
Cho biểu thức: $ P=\left( \frac{3x+\sqrt{16x}-7}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}-\frac{\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}-1} \right):\left( 2-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} \right)$
a) (1 điểm) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P
b) (0,5 điểm) Tìm x để P = -6
c) (0,25 điểm) Tìm $ x\in \mathbb{Z}$ để $ P\in \mathbb{Z}$
Bài 2: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ
Cho biểu thức $ P\left( x \right)={{x}^{2}}+\sqrt{{{x}^{3}}-x+10}$. Gọi $ {{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ là 2 nghiệm của phương trình $ {{x}^{2}}+x-1=0$
a) (0,5 điểm) Không tính cụ thể các nghiệm, hãy tìm hai số nguyên a, b sao cho ta có: $ {{x}_{1}}^{3}=a{{x}_{1}}+b$ và $ {{x}_{2}}^{3}=a{{x}_{2}}+b$
b) (0,5 điểm) Không tính cụ thể các nghiệm, hãy tính giá trị của biểu thức $ P\left( {{x}_{1}} \right)+P\left( {{x}_{2}} \right)$
Bài 3: TAM THỨC BẬC HAI
Cho phương trình $ {{x}^{2}}-2mx+m-2=0$
a) (0,5 điểm) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) (0,5 điểm) Gọi $ {{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ là 2 nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức $ M=\frac{-30}{2m{{x}_{1}}+{{x}_{2}}^{2}-6{{x}_{1}}{{x}_{2}}-m+2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: BẤT ĐẲNG THỨC
a) (0,5 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực $ a,\,\,b\ge 0$, ta luôn có: $ \sqrt{a}+\sqrt{b}\ge \sqrt{a+b}$
b) (0,5 điểm) *Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau đây
$ A=\sqrt{2-x}+\sqrt{3+x}+\sqrt{4x}$
c) (0,5 điểm) *Cho 2018 số $ {{a}_{1}},\,…….,\,\,{{a}_{2018}}$ thuộc [-2; 2] thoả mãn $ {{a}_{1}}+……+{{a}_{2018}}=0$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức $ B={{a}_{1}}^{3}+{{a}_{2}}^{3}+…..+{{a}_{2018}}^{3}$’
d) (0,5 điểm) *Cho 4 số thực không âm a, b, c, d thoả mãn $ a+b+c+d=2$. Tìm GTNN của biểu thức $ C=\frac{a}{{{b}^{2}}+1}+\frac{b}{{{c}^{2}}+1}+\frac{c}{{{d}^{2}}+1}+\frac{d}{{{a}^{2}}+1}$