Ôn tập về phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó

A- ÔN TẬP VỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

 I- KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Các pp phân tích đa thức thành nhân tử thường dùng:

– Đặt nhân tử chung.

– Dùng hằng đẳng thức.

– Nhóm nhiều hạng tử.

– Tách (hoặc thêm bớt) hạng tử.

– Phương pháp đổi biến (Đặt ẩn phụ).

– Phương pháp nhẩm nghiệm của đa thức.

II- BÀI TẬP

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a/. 36 – 12x + x²

b/. xy + xz + 3y + 3z

c/. x² – 16 – 4xy + 4y²

d/. x² – 5x – 14             (ĐS: 7; 2)

Nhắc lại: *  Phân tích đa thức ax² + bx + c thành nhân tử.

Ta tách hạng tử bx thành b₁x + b₂x như sau:

+ Bước 1: Tìm tích ac.

+ Bước 2: Biến đổi ac thành tích của hai số nguyên bằng mọi cách.

+ Bước 3: Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b $ \Rightarrow $ Hai thừa số đó chính là b₁; b₂ .

Ví dụ: ở câu d, trên b₁ = 2; b₂ = -7

x² – 5x – 14  = x² + 2x – 7x – 14  = x(x +2) – 7(x + 2) = (x + 2) (x – 7)

áp dụng:

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a/.  x² + 2x – 15                              (ĐS: 3; -5)

b/.  3x² – 5x – 2                               (ĐS: 1/3; 2)

c/.  2x² – 6x + 4                              (ĐS: 4; 2)

d/.  x² – x –  2004. 2005                  (ĐS: 2004; 2005)

e/. 5x² + 6xy  + y²                           (ĐS: 3y; 2y)

*  Áp dụng định lý Bơdu để phân tích đa thức F(x) thành nhân tử.

Bước 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm của F(x) không (a là một trong các ước của hạng tử tự do).

Bước 2: Nếu F(a) = 0 thì theo định lý Bơdu ta có:

F(x) = (x – a) P(x)

Để tìm P(x) ta thực hiện phép chia F(x) cho x – a .

Bước 3: Tiếp tục phân tích P(x) thành nhân tử nếu còn phân tích được, sau đó viết kết quả cho hợp lý.

Bài 3: Phân tích thành nhân tử: F(x) = x³ – x² – 4

Giải:

Ta thấy 2 là nghiệm của F(x) vì F(2) = 0

Theo hệ quả của định lý Bơdu thì F(x) $ \vdots $ x – 2

Dùng sơ đồ Hoocne để tìm đa thức thương khi chia F(x) cho x – 2

Vậy   F(x) = (x – 2)(x² + x + 2)

Bài 4: Phân tích thành nhân tử: B = x³ – 5x² + 3x + 9

(ĐS:  (x + 1)(x – 3)²   )

Bài 5: Chứng minh với mọi số nguyên n thì :

a/. (n + 2)² – (n – 2)² chia hết cho 8

b/.  n²(n + 1) + 2n(n + 1) chia hết cho 6.

Bài 6 (khuyến khích) Dùng pp thêm bớt để phân tích:

a/.  x⁷ + x⁵ + 1 = x⁷ + x⁶ –x⁶ + x⁵ +1 = … = (x² + x + 1)(x⁵ +x⁴ – x³ – 1) = …=

= (x + 1)²(x – 1)(x³ + x² + x – 1)

b/. x¹¹ + x + 1 = x¹¹ – x² + x² + x + 1 = x²(x⁹ – 1) + (x² + x + 1)

= (x² + x + 1)( x⁹ – x⁸ + x⁶ – x⁵ + x³ – x² + 1)

B- MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG GIẢI TOÁN

I – Chứng minh quan hệ chia hết

Bài 1: Chứng minh A = n⁴ + 6n³ + 11n² + 6n $ \vdots $ 24 với mọi n $ \in $ N

Giải:

Phân tích thành nhân tử A = n(n³ + 6n² +11n + 6)

Dùng pp nhẩm ngiệm để phân tích  n³ + 6n² +11n + 6 thành nhân tử

A = n(n + 1)( n² +5n + 6)

= n(n + 1)(n + 2)(n+ 3)

Đây là tích của 4 số nguyên liên tiếp. Trong 4 số nguyên liên tiếp n; n + 1; n + 2;

n + 3 luôn có một số chia hết  cho 2; một số chia hết cho 4 $ \Rightarrow $ A$ \vdots $ 8

Mặt khác, trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn tồn tại 1 số chia hết cho 3 nên A$ \vdots $ 3

Mà ƯCLN(3; 8) = 1 nên A $ \vdots $ 3.8 hay A$ \vdots $ 24 .

Bài 2: Chứng minh rằng: A = 22²² + 55⁵⁵ $ \vdots $ 7

Giải:

Cách 1:   A = (22²² – 1²²) + (55⁵⁵ + 1⁵⁵)

= (22 – 1)(22²¹ + 22²⁰ + … + 1 )(55 + 1)(55⁵⁴ – 55⁵³ + … + 1)$ $

                        M                                                   N

= 21M + 56 N

Mà 21M $ \vdots $ 7 ; 56N $ \vdots $ 7 $ \Rightarrow $ A$ \vdots $ 7

Cách 2: Dùng đồng dư:

Ta đã biết :   $ \left. \begin{array}{l}56\equiv 0(\bmod 7)\\1\equiv 1(\bmod 7)\end{array} \right\}\Rightarrow 55\equiv -1(\bmod 7)$

Mặt khác    $ \left. \begin{array}{l}22\equiv 1(\bmod 7)\\55\equiv -1(\bmod 7)\end{array} \right\}\Rightarrow {{22}^{{22}}}+{{55}^{{55}}}\equiv 0(\bmod 7)$

Hay    22²² + 55⁵⁵ $ \vdots $ 7

Bài 3: Chứng minh rằng  A = a³ + b³ + c³ – 3abc chia hết cho a + b + c

Giải:

áp dụng hằng đẳng thức: (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)

⇒ a³ + b³ = (a + b)³ –  3ab(a + b). Thay biểu thức này vào A ta được :

A  = (a + b)³ –  3ab(a + b) + c³ – 3abc

= [ ( a + b)³ + c³ ] – 3ab(a + b + c)

=  (a + b + c) [ (a + b)² – (a + b)c + c²– 3ab]

= (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ca)

Ta thấy đa thức này chứa một nhân tử là a + b + c ⇒ A chia hết cho a + b + c

II – Tìm điều kiện xác định và rút gọn một phân thức

Bài 4: Tìm ĐKXĐ sau đó rút gọn phân thức sau:

A =  $ \frac{{{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-2x+24}}{{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-10x-8}}$

Giải:

*Phân tích mẫu của A thành nhân tử:

x³ – x² – 10x – 8 = (x + 1)(x + 2)(x – 4)

Vậy ĐKXĐ: x $ \ne $ – 1; x $ \ne $ – 2; x $ \ne $ 4

*Phân tích thành nhân tử:

x³ – 5x² – 2x + 24 = (x + 2)(x – 3)(x – 4)

Rút gọn A = $ \frac{{(x+2)(x-3)(x-4)}}{{(x+2)(x+1)(x-4)}}=\frac{{x-3}}{{x+1}}$

Bài 5: Tìm điều kiện xác định sau đó rút gọn phân thức sau:

A = $ \frac{{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x+3}}{{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}}}$

Giải:

B = $ \frac{{{{x}^{2}}(x-3)-(x-3)}}{{{{x}^{2}}(x-1)}}$ = $ \frac{{(x-3)(x-1)(x+1)}}{{{{x}^{2}}(x-1)}}$

ĐKXĐ:  x$ \ne $ 1

Rút gọn:  B = $ \frac{{(x-3)(x+1)}}{{{{x}^{2}}}}$

Bài 6: Chứng minh A = n³ + 6n² + 8n $ \vdots $ 24 với mọi n $ \in $ N chẵn.

Giải:

A = n(n + 2)(n + 4)

Thay n=2k  $ \vdots $ A=8k (k+1)(k+2)

Mà k(k+1)(k+2) là 3 số tự nhiên liên tiếp ⇒ $ \vdots $ 3

ƯCLN (8,3) = 1 ⇒ A $ \vdots $ 24

Bài 7: cho a+b+c = 0 chứng minh a³ +b³+c³ = 3abc

Giải:

Từ KQ bài  3 trên , nếu a+ b+ c = 0

⇒ a³ +b³+c³ – 3abc = 0

⇒ a³ +b³+c³ = 3abc

Bài 8: Rút gọn các phân thức:

a/. $ \frac{{{{{\left( {2x+3} \right)}}^{2}}-{{x}^{2}}}}{{{{x}^{2}}-1}}$

(ĐS: $ \frac{{3\left( {x+3} \right)}}{{x-1}}$ )

b/.  $ \frac{{{{{\left( {3x+2} \right)}}^{2}}-{{{(x+2)}}^{2}}}}{{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}}}$

(ĐS : $ \frac{{8\left( {x+1} \right)}}{{x(x-1)}}$ )

III – Giải phương trình, bất phương trình

Bài 9: (Bài 1 – đề thi cấp 3 năm 2007)

1/. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: B = b + by + y + 1

2/. Giải phương trình:         x² – 3x + 2 = 0

Bài 10: Giải phương trình: (x² – 1)(x² + 4x + 3) = 192

Giải:

Biến đổi phương trình đã cho được: (x – 1)(x + 1)²(x + 3) = 192

⇔(x + 1)²(x – 1) (x + 3) = 192

⇔ (x² + 2x + 1)(x² + 2x – 3) = 192

Đặt x² + 2x – 1 = y

Phương trình đã cho thành:  (y + 2) (y – 2) = 192 ⇒ y = ± 14

Với y = 14 giải ra x = 3 hoặc x =- 5

Với y = – 14 giải ra  vô nghiệm.

Vậy S = {3;-5}

Bài 11: Giải bất phương trình sau: x² – 2x – 8 < 0

Giải:

Biến đổi bất phương trình đã cho về bất phương trình tích:

x² – 2x – 8 < 0 ⇔ x² – 4x + 2x – 8 < 0 ⇔ (x – 2)(x + 2) < 0

Lập bảng xét dấu:

Vậy nghiệm của bất phương trình là:   – 2 < x < 4 .

Bài tập về nhà:        Làm bài 80 – 88(42, 43) ÔTĐ8.