Bài tập tuần 6 – Toán lớp 9

BÀI TẬP TUẦN 6

– Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai.

– Hệ thức về cạnh & góc trong tam giác vuông

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) $ 3-\sqrt{3}+\sqrt{15}-3\sqrt{5}$

b) $ \sqrt{1-m}+\sqrt{1-{{m}^{2}}}$ với -1 < m < 1

c) $ a-b+\sqrt{a{{b}^{2}}}-\sqrt{{{b}^{3}}}$ với $ a>0;\,\,b>0$

d) $ \sqrt{{{x}^{3}}}-\sqrt{{{y}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{2}}y}-\sqrt{x{{y}^{2}}}$ với $ x>0;\,\,y>0$

Bài 2: Tính

a) $ \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

b) $ \frac{3}{2\sqrt{2}-3\sqrt{3}}-\frac{3}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}}$

Bài 3: Chứng minh rằng:

a) $ \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+….+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=9$

b) $ \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+……+\frac{1}{\sqrt{225}}<28$

Bài 4: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

$ \sqrt{c\left( a-c \right)}+\sqrt{c\left( b-c \right)}-\sqrt{ab}\le 0$ với $ a>c;\,\,b>c$

Bài 5: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

$ A=\sqrt{m-3}+\sqrt{n-4}$  biết  $ m+n=8$

Bài 6: Cho $ \Delta ABC$ vuông tại A, $ \widehat{B}={{30}^{0}};\,\,BC=a$. Tính cạnh AB, AC.

Bài 7: Tính giá trị của biểu thức:

a) $ \frac{3\cot {{60}^{0}}}{2{{\cos }^{2}}{{30}^{0}}-1}$

b) $ \frac{\cos {{60}^{0}}}{1+\sin {{60}^{0}}}+\frac{1}{\tan {{30}^{0}}}$

Bài 8: Dựng góc $ \alpha $ biết:

a) $ \sin \alpha =\frac{2}{5}$

b) $ \displaystyle \text{cosos}=0,2$

c) $ \tan \alpha =0,4$

d) $ \cot \alpha =\frac{1}{2}$

Hướng dẫn:

Bài 3:

a) $ \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+….+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$

$ \begin{array}{l}=\,\,\,\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+…..+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{99-100}\\=\,\,\,\sqrt{100}-1\,\,\,=\,\,\,10-1\,\,\,=\,\,\,9\end{array}$

b) Ta có:

$ \begin{array}{l}\frac{1}{2}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+……+\frac{1}{\sqrt{225}} \right)=\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+….+\frac{1}{2\sqrt{225}}\\<\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+……+\frac{1}{\sqrt{224}+\sqrt{225}}\\=\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+……+\frac{\sqrt{224}-\sqrt{225}}{224-225}\\=\sqrt{225}-1\,\,=\,\,15-1=14\end{array}$

Do đó $ \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+……+\frac{1}{\sqrt{225}}<28$

Bài 4: Theo giả thiết a, b, c > 0 và a > c; b > c nên hai vế của BĐT $ \sqrt{c\left( a-c \right)}+\sqrt{c\left( b-c \right)}\le \sqrt{ab}$ đều dương. Bình phương hai vế, ta được:

$ \begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,c\left( a-c \right)+c\left( b-c \right)+2c\sqrt{\left( a-c \right)\left( b-c \right)}\le ab\\\Leftrightarrow 2c\sqrt{\left( a-c \right)\left( b-c \right)}\le ab-c\left( a-c \right)+c\left( b-c \right)\\\Leftrightarrow 2c\sqrt{\left( a-c \right)\left( b-c \right)}\le {{c}^{2}}+\left( a-c \right)\left( b-c \right)\\\Leftrightarrow {{c}^{2}}+\left( a-c \right)\left( b-c \right)-2c\sqrt{\left( a-c \right)\left( b-c \right)}\ge 0\\\Leftrightarrow {{\left[ c-\sqrt{\left( a-c \right)\left( b-c \right)} \right]}^{2}}\ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}$

BĐT (1) luôn đúng nên BĐT phải chứng minh là đúng.